[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] IMC - problema 4

[yurigomes@xxxxxxxxxxxxxx]

 Ops, me esqueci de falar que d>1 (!!) A solução é então (a,b) tais que
a!=b e mdc(a, b)=min{a,b}

-- Mensagem original --

>
> Vou dar minha solução: eu considerei AUB=N partição. 
>  Sejam a, b tais que 
> a.A= b.B.
>  Podemos supor, WLOG, que 1 está em A. Então a está em B, de modo que
existe
>d em B tal que a=b.d. Temos então que b|a, e ainda  aA=db.A => d.A=B. 
> Nosso problema se restringiu então a acharmos d natural tal que d.A=B,
>onde AUB é alguma partição de N. Afirmo que todo d satisfaz tal condição.
>De fato, cada natural n é representado de modo único na forma d^a.c, onde
>d não divide c. Seja então
>  A= {d^a.c ; a é par e d não divide c}
>  B= {d^a.c ; a é ímpar e d não divide c}
> Claramente AUB= N e d.A=B. 
> Logo, os pares (a,b) que satisfazem são os que satisfazem mdc(a, b)=min{a,
>b}.
>  Se virem algum erro, me avisem!!
>
>-- Mensagem original --
>
>>
>>4. Determine the set of all pairs (a,b) of positive integers for which
>the
>>set of positive integers can be decomposed into two sets A and B such
that
>>a.A = b.B.
>>
>>Seja N = conjunto dos inteiros positivos.
>>
>>O enunciado fala em decompor N e não particionar N.
>>Pra mim, isso significa que devemos ter A U B = N, mas não necessariamente
>>A
>>inter B = vazio.
>>Com essa interpretacao, eu fiz o seguinte:
>>
>>Consideremos os pares da forma (a,ka), com k inteiro positivo.
>>Nesse caso, basta tomar A = kN e B = N para garantir que teremos:
>>A U B = N  e  aA = a(kN) = (ka)N = (ka)B.
>>
>>De forma analoga, podemos tomar todos os pares da forma (kb,b), com k
>>inteiro positivo.
>>
>>Suponhamos agora que algum par (a,b) satisfaz ao enunciado sem que tenhamos
>>a | b ou b | a.
>>Isso significa que d < a  e  d < b, onde d = mdc(a,b).
>>Podemos escrever a = a1*d e b = b1*d, com mdc(a1,b1) = 1.
>>
>>Sejam os conjuntos correspondentes A e B tais que A U B = N  e  aA = bB.
>>
>>aA = bB ==>
>>a1*d*A = b1*d*B ==>
>>a1*A = b1*B
>>
>>Podemos supor s.p.d.g. que 1 pertence a A.
>>Nesse caso, a1 pertence a a1*A ==>
>>a1 pertence a b1*B ==>
>>existe m em B tal que a1 = b1*m ==>
>>b1 | a1 ==>
>>b1 = 1 (ja que mdc(a1,b1) = 1).
>>
>>Mas, b1 = 1 ==>
>>a = a1*d, b = b1*d = d ==>
>>b divide a ==>
>>contradicao
>>
>>Logo, se a nao divide b e b nao divide a, entao (a,b) nao satisfaz ao
>>enunciado.
>>
>>Conclusao: os unicos pares ordenados de inteiros positivos que satisfazem
>>ao
>>enunciado sao aqueles nos quais uma das coordenadas eh um multiplo da
outra.
>>
>>
>>Um abraco,
>>Claudio. 
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>>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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>[]'s, Yuri
>ICQ: 64992515
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