FW: [obm-l] Demonstração da trigonometria

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, Alexandre:

Inicialmente, vou resolver este problema supondo que o universo de n eh o
conjunto dos naturais:

A minha ideia eh provar que se n <> 2, entao existira um valor de x para o
qual a identidade falha.

Naturalmente, vale cos^2(x) + sen^2(x) = 1 para todo x.

1) n eh impar:
Nesse caso, tome x = 5pi/4 ==> cos(x) = sen(x) = - 1/raiz(2) ==>
cos^n(x) + sen^n(x) < 0 < 1

2) n eh par e > 2:
Nesse caso, tome x = Pi/4 ==> cos(pi/4) = sen(pi/4) = 1/raiz(2) ==>
cos^n(pi/4) = sen^n(Pi/4) = 1/2^(n/2) < 1/2 ==>
cos^n(pi/4) + sen^n(pi/4) < 1/2 + 1/2 = 1

Logo, n soh pode ser igual a 2.

*****

O problema talvez fique mais interessante se restringirmos x ao intervalo
(0,pi/2) e tomarmos o universo de n como sendo o conjunto dos reais.

Para um x fixo (em (0,pi/2)) facamos f(n) = cos^n(x) + sen^n(x).

Derivando em relacao a n:
f'(n) = ln(cos(x))*cos^n(x) + ln(sen(x))*sen^n(x)

0 < sen(x) < 1  e  0 < cos(x) < 1 ==>
ln(sen(x)) < 0 e ln(cos(x)) < 0 ==>
f'(n) < 0 para todo n ==>
f eh monotona decrescente ==>
f eh injetiva ==> 
existe um unico valor real de n para o qual f(n) = 1 (justamente n = 2).


Um abraco,
Claudio.
 
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From: Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
Date: Mon, 28 Jul 2003 08:31:46 -0300
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Subject: Re: [obm-l] Demonstração da trigonometria

Oi, Morgado:

Eu sei que voce desaprova tentativas de interpretar enunciados, mas acho que
a questao eh demonstrar que:

Se cos^n(x) + sen^n(x) = 1 para todo x entao n = 2.

Um abraco,
Claudio.

on 28.07.03 08:26, Augusto Cesar de Oliveira Morgado at
morgado@centroin.com.br wrote:

> ???
> 
> Em Mon, 28 Jul 2003 05:55:06 -0300, Alexandre Daibert
> <alexandredaibert2@ig.com.br> disse:
> 
>> Gostaria de uma demonstração formal para o seguinte (a nível de segundo
>> grau por favor), procurei e não achei em nenhum lugar:
>> 
>> sen^x + cos^x = 1
>> 
>> provar que n=2
>> 
>> Alexandre Daibert
>> 
>> =========================================================================
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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