LEGAL<LEGAL<LEGAL!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Consegui fechar o problema 3 da IMO!!!!!!!!!!Confiram ai pra ver se nao tem nenhum erro.
Agradeço ao Paulo Santa Rita pelas suas dicas de vetores e ao Marcio Afonso Assad Cohen pela ideia de usar desigualdades(e ao problema cinco da IMO da India pela fabulosa ideia) e ao Tengan por ter me ensinado a aplicar a tecnica "leve tudo ate as ultimas consequencias!!!".
O nosso hexagono tera o nome bastante original de ABCDEF cujos pontos medios sao o hexagono nao menos original MNPQRS,com M em AB,N em BC e assim por diante.
O enunciado afirma que MQ=(raiz(2) 3)/2 *(AB+DE)= e assim por diante.Devemos mostrar que o hexagono e equiangulo.
Seja t=sen 30°=COS 60º=(raiz(2) 3)/2.
Começaremos demonstrando que os lados opostos são paralelos.
Considere a origem em qualquer lugar.O ponto medio de AB e (A+B)/2 entao o vetor que liga os pontos medios de AB e DE e (A+B-D-E)/2.Assim |A+B-D-E|>=2t*(|A-B|+|D-E|).Para melhorar a joça vamos tentar usar a desigualdade triangular para vetores.Sabemos que |A-B|+|D-E|>=|A-B-D+E| com igualdade se e somente se AB//DE(entendeu o paralelismo ai?).Assim |AD+BE|>=2t|AD-BE|.
Quadrando e usando produto interno euclidiano:
<AD,AD>+2<DA,EB>+<EB,EB> >=
3*(<AD,AD>-2<DA,EB>+<EB,EB>) ou equivalentemente <AD,AD>+<EB,EB> <=4*<AD,EB>.Analogamente
<EB,EB>²+|FC,FC|²<=4*<EB,FC>
<FC,FC>²+<AD,AD>²<=-4*<FC,DA>.
Somando,obtemos 2*(DA-EB+FC)²<=0.Logo
DA-EB+FC=0,e os lados opostos são paralelos(verifique as igualdades!).
0=A-D-B+E+C-F=BA+DC+FE,logo os vetores AB,CD e EF podem fechar um triangulo.Isto ja e mais um ponto ao nosso favor!
Se transladarmos EF na direção ED,obtemos CG no prolongamento do lado BC,devido ao paralelismo.Em miudos, desenhamos os paralelogramos ADCH,ABEI,CFEG.Devido aos paralelismos produzimos um triângulo GHI com o nosso ABCDEF dentro.Basta demonstrar que o triangulo GHI e equilatero.Para tal:
DEVER DE CASA:cada mediana de um certo triangulo mede
sen 60° vezes o lado correspondente.Calcule os angulos do triangulo.(DICA:umas SLCs podem ajudar,ou use Stewart)
A PARTIR DAQUI FAÇA UM BOM DESENHO!
Os triangulos HAB,FIE,CDG e HIG são semelhantes por paralelismo.E pelo mesmo motivo os tres primeiros triangulos sao congruentes e homoteticos ao quarto(se lembra dos vetores?).Assim IE=DG e EQ=DQ,logo IQ=QG e assim sendo Q e ponto medio de GI.Pela homotetia e visivel que H,M,Q se alinham.
Vamos calcular a razao HQ/IG:
HQ/IG=HM/AB=(HM-HQ)/(AB-GI)=MQ/(AB+DE)=cos 60°,e de acordo com o dever de casa(voce fez?),COMEMORE!!!!!!
Sera que ressa vai pra Eureka! ?Vou enviar JA!!!!!!!
UM ABRAÇAO!!!!!Ass.:Johann