Re: [obm-l] polinomios

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 20.07.03 23:50, Eduardo Henrique Leitner at ehl@netbank.com.br wrote:

> Um polinômio f, divido por x+2 e x^2 + 4, dá restos 0 e x+1,
> respectivavemente. Qual é o resto da divisão de f por (x+2)(x^2 + 4)?
> 
> tipo, eu resolvih fatorando o x^2 + 4 em (x + 2i)(x - 2i), mas eu acho que
> deve ter uma maneira mais real (não usando imaginários eu digo...) de resolver
> o exercício...
> se alguém souber souber se tem ou não tem outra maneira, por favor me diga...
> e caso tenha, como é?
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
> 
Oi, Eduardo (e demais colegas da lista):

Estou de volta, depois de longas ferias. Assim, por favor desculpe a minha
forma bracal de resolver este problema (que deve ser parecida com a sua,
pois tambem envolve imaginarios):

Existe um polinomio g(x) tal que:
f(x) = (x+2)*(x^2+4)*g(x) + r(x), onde r(x) eh o resto procurado.

Como (x+2)(x^2+4) tem grau 3, r(x) tem grau no maximo 2 ==>

r(x) = ax^2 + bx + c, para racionais a, b, c (a serem determinados).

Do enunciado, temos que existem polinomios p(x) e q(x) tais que:
f(x) = (x+2)*p(x) 
f(x) = (x^2+4)*q(x) + (x+1)

Isso implica que:
f(-2) = 0
f(2i) = 1 + 2i   e   f(-2i) = 1 - 2i

Assim:
f(-2) = r(-2) = 0
f(2i) = r(2i) = 1 + 2i
f(-2i) = r(-2i) = 1 - 2i

Logo:
r(-2) = 4a - 2b + c = 0
r(2i) = -4a + 2ib + c = 1 + 2i
r(-2i) = -4a - 2ib + c = 1 - 2i

Resolvendo o sistema, achamos:
a = 1/8
b = 1
c = 3/2

Logo:
r(x) = x^2/8 + x + 3/2

Um abraco,
Claudio.
p(x) = (x^2+4)*q(x)/(x+2) + (x+1)/(x+2)

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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