[obm-l] Problemas da IMO numero 4

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <peterdirichlet2002@xxxxxxxxxxxx>]

E ai turmas!!!!!!Resolvi o problema 4 da IMO do
Japao.Acabei de pegar a prova.Daqui a alguns dias
eu e o Demetriom devemos pensar no resto.

"Dado um quadrilatero ciclico ABCD sejam P,Q,R as
projeçoes ortogonais de D em AB,BC e CA
respectivamente.Mostre que se PR=RQ entao as
bissetrizes de <ABC e <ADC sao concorrentes com a
reta CA."

Eu,como um assiduo frequentador das aulas do
Carlos Shine,resolvo este com trigonometria na
arteria!!O mais legal e que nem precisa saber que
a joça e ciclica!!
Os quadrilateros PARD e RDCQ sao ciclicos pois os
dois contem dois angulos que sao retos(um
compartilhado) em posiçoes bem estrategicas.
Calcularemos o fator (PR/RD)*(DR/RD)=1(pois
RP=RQ) usando os angulos.As igualdades saem das
inscritibilidades(sempre quis escrever isto!)
PR/RD=sen(<PDR)/sen(<DPR)=sen(<CAB)/sen(<DAC)
DR/RQ=sen(<DQR)/sen(<RDQ)=sen(<DCA)/sen(<ACB)
Bem,vamos ver agora:
sen(<CAB)/sen(<DAC)*sen(<DCA)/sen(<ACB)=1
sen(<CAB)/sen(<ACB)*sen(<DCA)/sen(<DAC)=1
ou AB/BC=AD/DC que e o Teorema das Bissetrizes!

E fim.Quadradinho sem pintura!

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