[obm-l] Conjuntos numeráveis e conjuntos não enumeráveis

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Bom dia a todos,
Eu gostaria de levantar um assunto que há algum tempo me intriga. O fato
de um conjunto ser ou nao numeravel eh algo intrinseco ao conjunto ou
depende da topologia nele definida? Vou tentar explicar porque isso me
intriga. Para tanto, consideremos o conjunto R dos reais com a topologia
usual, definida pela metrica Euclidiana. Nesta situacao, sabemos que R
eh completo. Vamos agora analisar uma prova classica de que R nao eh
numeravel. Tomemos entao o intervalo I = [0,1] e seja X ={x_1,...
x_k...} uma enumeracao de elementos de I. Como todo elemento de R eh
ponto de acumulacao do mesmo, podemos escolher um subintervalo fechado
I_1 de I que nao contenha x_1. Da mesma forma, podemos escolher um
subintervalo fechado I_2 de I_1 que nao contenha x_2. Atraves de um
raciocinio indutivo, constatamos que este processo gera uma sequencia
{I_k} de subintervalos fechados de I tal que, para cada k, x_k nao
pertence a I_k. Logo, nenhum elemento da enumeracao X eh comum a todos
os intervalos I_k. Mas como R eh completo, existe, segundo um conhecido
teorema, um elemento x comum a todos os I_k que, consequentemente,
pertence a I mas nao estah englobado na enumeracao X. Isto nos mostra
que nenhuma enumeracao de elementos de I cobre a totalidade de I, do que
deduzimos que I e, portanto, o proprio R, nao sao numeraveis. 

Mas para que esta prova seja valida, precisamos saber previamente que R
eh completo e que todos seus elementos sao pontos de acumulacao do
mesmo. Tais condicoes dependem da topologia definida em R. Se, por
exemplo, tivermos R estruturado com a topologia definida pela metrica
discreta, entao a prova acima deixa de valer. Embora R continue sendo
completo (as sequencias de Cauchy passam a ser aquelas que se tornam
constantes a partir de algum k), nenhum elemento de R, na metrica
discreta, eh ponto de acumulacao do mesmo. Logo, os requisitos basicos
para a prova mencionada nao mais vigoram.

Na realidade, a prova que reproduzi para I eh um caso particular de uma
outra que diz que se um espaco topologico S eh compacto e nao contem
pontos isolados, entao S nao eh numeravel. O que acarreta que se um
espaco topologico contem um sub-espaco com as caracteristicas de S,
entao o espaco nao eh numeravel. Mas, os conceitos de conjunto compacto
e de pontos isolados dependem da topologia definida.

Uma outra prova da nao enumerabilidade de R eh a de Cantor, baseada em
expansoes decimais dos numeros reais. Mas esta prova tambem pressupoem R
com a topologia usual.

E eh isto que me intriga. Eh posivel provar que R nao eh numeravel sem
admitirmos alguma topologia nele definida? O fato de provarmos que um
conjunto eh ou nao numeravel numa topologia garante que tais condicoes
sao preservadas em qualquer topologia? 

Um abraco
Artur

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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