[obm-l] Problemas IMO - Questao 4

["Rodrigo Villard Milet" <villard@xxxxxxxxxxxx>]

Parece estar certo... Eu fiz uma solução legalzinha... segue :



Deixo um espaço em branco...





.....








.....

















Veja que podemos supor que P está fora de AB e Q está dentro de BC, pois
como A+C= 180, um dos A ou C deve ser agudo e o outro obtuso. [XYZ] = área
do triângulo XYZ.
Veja que [ACQ]=[APC] (pois como PR=QR, então [APR]=[ARQ] e [CPR]=[CRQ], já
que P,Q e R são colineares - reta de Simson)
Logo [BCP]-[ABC]=[ABC]-[ABQ], então BP.BC-BA.BC=BA.BC-BA.BQ, o que é
equivalente a BA.(BC-BQ) = BC.(BP-BA) ... BA.CQ=BC.PA. Como PA/CQ =
AD.cosC/CD.cosC  = AD/CD, segue que BA/BC=AD/CD, o que finaliza o problema.

Abraços,
 Villard
-----Mensagem original-----
De: latino@lia.ufc.br <latino@lia.ufc.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Terça-feira, 15 de Julho de 2003 13:00
Assunto: [obm-l] Problemas IMO - Questao 4


>So um pequeno detalhe... nao precisei usar o fato de ABCD ser incritivel
>(pelo menos nao explicitamente). Alguem poderia comentar isso?
>
>#####################################
># MSc. Edson Ricardo de A. Silva    #
># Computer Graphics Group (CRAB)    #
># Federal University of Ceara (UFC) #
>#####################################
>
>> achei legal essa sua solucao por complexos. Uma outra solucao
>> trivial (e acho que a de 99% dos participantes) seria a seguinte:
>>
>> quad. APDR inscritivel  =>  PR = AD.sen(<BAC)
>> quad. CQRD inscritivel  =>  RQ = DC.sen(<ACB)
>>
>> PR = RQ  =>  AD/DC = sen(<ACB)/sen(<BAC) = AB/BC  (lei dos senos)   (*)
>>
>> Sendo S e T os pontos de interseccao das bissetrizes internas dos
>> angulos <ABC e <ADC, respectivamente, com o lado AC, temos:
>>
>> AS/SC  =  AB/BC  =  AD/DC  =  AT/TC   Logo, S = T
>>       (1)       (2)       (3)
>>
>> (1) e (3) - teorema da bissetriz interna
>> (2) - por (*)
>>
>> abracos,
>=========================================================================
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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