[obm-l] QUESTÕES INTERESSANTES

["Frederico Reis Marques de Brito" <fredericor@xxxxxxxxxxx>]

Olá caros colegas da lista, seguem algumas questões que considero muito 
interessantes, para quem quiser se distrair um pouco nessas férias:

(1)   Seja   A   uma matriz 2x2  com entradas inteiras. Mostre que  A tem 
inversa " com entradas ingteiras"   se, e somente se,   det(A) = + - 1 . ( 
Uma das implicações é trivial. )

(2)   Um triângulo equilátero, inscrito numa circunferência de centro na 
origem do sistema cartesiano, tem  o   número complexo    z= sqrt(3)  + i   
como um de seus vértices. Determine os outros.

(3)  Uma equação quadrática com coeficientes primos pode ter raiz real 
dupla?

(4) Sejam   a   , b    números naturais.  Mostre  que (3^a  + 3^b + 1 )   
nunca é um quadrado perfeito.

(5) Seja  p  > 5   um número primo. Neste caso   1/p , o recíproco de  p , 
tem por  representação decimal uma dízima periódica. Indiquemos por  T(p)  o 
número de algarismos que constituem o período.
(a)  Mostre que existe um único primo   p  tal que  T(p)  = 2 .
(b) Mostre que  T(p)   é o menor número natural  n   tal   que    :  n | 
(p-1) e  p | R_n  ,  em que  R_n = 1111...1 ( n  dígitos 1 ) .
Obs:  a | b  quando    b   é múltiplo de  a , isto é, existe  q  inteiro tal 
que   b = a . q   .

(6) Mostre que se   a , b, c  são inteiros  ímpares   então a eq. 
ax^2+bx+c=0   não tem raiz racional.
( Proposto por Eduardo Wagner no 1o encontro da RPM. )

Até a próxima.
Frederico.


>From: "Frederico Reis Marques de Brito" <fredericor@hotmail.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: [obm-l] Duvida sobre polinomios
>Date: Wed, 09 Jul 2003 11:08:23 -0300
>
>
>Sim, desde que o polinômio divisor não seja nulo. Existe um resultado, 
>análogo ao Lema da Divisão de Euclides para nos inteiros, que garante que 
>dados   polinõmios   f(x), g(x) , g(x) <> 0,  com coeficientes num corpo K 
>( em particular se  K= R = conjunto dos numeros reais )  então existem e 
>são únicos  q(x) e  r(x)  com coeficientes em  K  de tal forma que     f(x) 
>= g(x) X q(x) + r(x)     e     " r(x) =0   ou    grau(r) < gr(g)" .  A 
>demonstração desse fato é, normalmente, obtida através de indução 
>matemática. Você pode obtê-la, por exemplo, em
>
>[1]    GONÇALVES, Adilson -  "Introdução Á Álgebra"  -  Projeto Euclides - 
>SBM/IMPA.
>[2]   DOMINGUES, Hygino H. , IEZZI, Gelson - " Álgebra Moderna"-  Atual 
>Editora.
>
>Observe ainda que a hipótese de que os polinômios tenham coeficientes num 
>corpo ( anel comutativo com elemento neutro do produto e no qual todo 
>elemento não -nulo tenha inverso, ufa!!! ) é absolutamente essencial. SE 
>dividirmos  F(x)= x+1   por   G(x)  = 2   , olhando-os como polinômios a 
>coef. inteiros, não obteremos um quociente com esta propriedade.
>Frederico.
>
>>From: "leonardo mattos" <leonar_matt@hotmail.com>
>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>Subject: [obm-l] Duvida sobre polinomios
>>Date: Wed, 09 Jul 2003 12:05:03 +0000
>>
>>Gostaria de saber se ao dividirmos um polinomio P(x) com todos os seus 
>>coeficientes pertencentes aos reais por um polinomio Q(x) tambem com todos 
>>os seus coeficientes pertencentes aos reais o o resto da divisao tem que 
>>ser necessariamente um polinomio de coeficientes reais. Se nao gostaria de 
>>ver um exemplo pelo menos.
>>
>>Leonardo
>>
>>_________________________________________________________________
>>MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil.  http://www.hotmail.com
>>
>>=========================================================================
>>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>>=========================================================================
>
>_________________________________________________________________
>MSN Messenger: converse com os seus amigos online.  
>http://messenger.msn.com.br
>
>=========================================================================
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>=========================================================================

_________________________________________________________________
MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil.  http://www.hotmail.com

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================