Re: [obm-l] Re: [obm-l] Potência

["A. C. Morgado" <morgado@xxxxxxxxxxxxxxx>]

Este problema caiu numa IMO e a pergunta era qual a soma dos digitos de c.


Todo natural eh congruo, modulo 9, ah soma de seus algarismos. Logo, a, 
b e c sao congruos entre si, modulo 9.

Vamos descobrir a que sao congruas, modulo 9, as potencias de 4444.
4444^1 congruo a 7; 4444^2 congruo a 7^2=49 congruo a 4; 4444^3 congruo 
a 7*4=28 congruo a 1.
4444^4444 = 4444^(3*1481+1) = [(4444^3)^1481] * 4444 congruo a 
(1^1481)*7 = 7.

Logo, modulo 9, a, b e c sao congruos a 7.

a eh menor que 10000^4444 = 10^17776 que eh o menor natural de 17 777 
digitos. Logo, a tem, no maximo, 17 776 digitos e b sera menor que 
17776*9 =159 984.
c sera menor que 1+5*9 = 46. Logo, a soma dos algarismos de c sera menor 
que 4+9=13. Como a soma dos algarismos de c eh congrua a 7, modulo 9, a 
soma dos digitos de c vale 7.

Apesar de ter usado uma desigualdade muito larga (4444 < 10 000), nao se 
conseguiria resultado muito melhor com uma desigualdade mais estreita. 
Com calculadora descobre-se que a eh um numero de 16 211 digitos.


>----- Original Message -----
>From: "cfgauss77" <cfgauss77@bol.com.br>
>To: "Lista OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Sent: Saturday, June 28, 2003 4:26 PM
>Subject: [obm-l] Potência
>
>
>Seja o número a=4444^4444, o núemo b obtido da soma de
>todos os algarismos do número a e, finalmente, o número
>c obtido da soma de todos os algarismos de b. Determine
>o número c.
>
>    Desde já agradeço!!!!
>
>
>
>  
>


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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