[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dicas: Análi

["alininha1980" <alininha1980@xxxxxxxxxx>]

Pensei no fato que se um funcional linear é contínuo em 
um único ponto ele é contínuo no espaço inteiro... No 
entanto o problema não fala nada sobre a linearidade da 
f.

Obrigada Gugu!



>    Cara Alininha,
>    A parte da sua solucao que mostra que se f e' contin
ua entao seu nucleo
> e' fechado esta' perfeita (e, junto com o meu argumento
 no P.S. da minha
> mensagem anterior, da' uma solucao para o problema). Qu
anto a primeira parte
> eu nao entendi porque a sua conclusao "f e' continua em
 N" implica que f e'
> continua. De fato, qualquer funcional linear f e' const
ante igual a 0 em seu
> nucleo N, e portanto e' continua em N, o que nao implic
a que seja continua
> no espaco todo.
>    Abracos,
>            Gugu
> >
> >Muito obrigada...
> >
> >O outro problema a que me referia era:
> >
> >"Seja X um espaço normado e f:X-
> um funcional linear. f 
> >é contínuo se e somente se seu nucleo é fechado"
> >
> >Resolvi assim (espero que corretamente) (Qualquer erro
 
> >favor comunicar)
> >
> >Se núcleo N de f é fechado então uma sequencia {xn} 
> >convergente em N converge para x pertencente a N. Como
 
> >{xn} pertence a N temos que f(xn)=0. Como x também 
> >pertence a N temos que f(x)=0. Assim f(xn)
=0 tende para f
> >(x) = 0 de onde concluímos que f é contínua em N. Mas 
> >como f é linear então f é contínua em X.
> >
> >Seja agora f contínua. 
> >Seja {xn} uma sequencia em N e x pertencente a X.
> >
> >xn tende para x
> >
> >como f é contínua temos que 
> >
> >0=f(xn) -> f(x)
> >
> >ou seja f(x) = 0. Assim x pertence a N e portanto N é 
> >fechado.
> >
> >Isto está correto?
> >
> >
> >>    Cara Alininha,
> >>    Seja x em X e a=f
> >(x). Dado d > 0, como f nao e' continuo (e logo nao e'
> >> limitado), existe v em X com |v|<1 tal que |f(v)
> >| > |a|/d. Temos entao 
> >> f(x-a.v/f(v))=f(x)-a.f(v)/f(v)=a-a=0, e |x-(x-a.v/f
(v)
> >|=|a.v/f(v)|<=
> >> <=|a|/|f(v)|<=|a|/
> >
(|a|/d) < d, ou seja, existem elementos do nucleo de f (a
> >> imagem inversa de 0) arbitrariamente perto de x, ou 
sej
> >a, o nucleo de f e'
> >> denso em X.
> >>    Abracos,
> >>             Gugu
> >> 
> >> P.S.: O outro problema que voce mencionou e' uma con
seq
> >uencia desse: se f
> >> nao e' continuo, nos acabamos de mostrar que o fecho
 do
> > seu nucleo e' todo o
> >> espaco X, mas seu nucleo nao e' todo o espaco X, sen
ao 
> >f seria identicamente
> >> nula e portanto continua. Assim, se f nao e' continu
a s
> >eu nucleo nao e'
> >> fechado. 
> >>  
> >> >
> >> >Caro Gugu,
> >> >
> >> >
> >> >Mesmo com a sua ajuda e a do Nicolau não consegui 
> >> >resolver esta questão. Estou um pouco decepcionada 
> >> >comigo. Será que poderia me mostrar sua resolução d
a 
> >> >questão? (Não sei o que codimensão que o Nicolau fa
lou
> > 
> >> >mas parece que usando isto a demonstração é mais 
> >> >compacta, não?)
> >> >
> >> >Um outro problema que acredito tenha demonstração 
> >> >semelhante é mostrar que o núcleo de um funcional é
 
> >> >fechado se e somente se ele é contínuo.
> >> >Este também não consegui resolver depois de muito 
> >> >esforço.
> >> >
> >> >Serei muito grata pela sua ajuda!
> >> >
> >> >>     Cara Alininha,
> >> >>     Use o fato de que um funcional linear que nao
 e'
> > co
> >> >ntinuo nao e'
> >> >> limitado, ou seja, voce pode encontrar elementos 
v d
> >e X
> >> > com |v| < 1 e |f(v)|
> >> >> tao grande quanto voce quiser para mostrar que, d
ado
> > x 
> >> >em X existem
> >> >> elementos do nucleo de f (a imagem inversa de 0) 
arb
> >itr
> >> >ariamente proximos de
> >> >> x, somando a x elementos pequenos de X escolhidos
 co
> >nve
> >> >nientemente.
> >> >>    Abracos,
> >> >>            Gugu
> >> >> 
> >> >> >
> >> >> >Amigos,
> >> >> >
> >> >> >estou inciandos meus estudos de análise funciona
l s
> >em 
> >> >> >muito background matemático e por isso estou enc
ont
> >rad
> >> >o 
> >> >> >muitas dificuldades.
> >> >> >
> >> >> >Gostaria que me dessem, se possível, algumas dic
as 
> >par
> >> >a 
> >> >> >provar:
> >> >> >
> >> >> >"Seja X um espaço normado. Se f é  um funcional 
lin
> >ear
> >> > 
> >> >> >NÃO contínuo Então a imagem inversa de 0 é denso
 em
> > X"
> >> >> >
> >> >> >Quero resolver sozinha e por isso gostaria apena
s d
> >e 
> >> >> >algumas dicas...
> >> >> >
> >> >> >Muito obrigada.
> >> >> >
> >> >> > 
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a
 lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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