Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dicas: Análi

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

   Cara Alininha,
   A parte da sua solucao que mostra que se f e' continua entao seu nucleo
e' fechado esta' perfeita (e, junto com o meu argumento no P.S. da minha
mensagem anterior, da' uma solucao para o problema). Quanto a primeira parte
eu nao entendi porque a sua conclusao "f e' continua em N" implica que f e'
continua. De fato, qualquer funcional linear f e' constante igual a 0 em seu
nucleo N, e portanto e' continua em N, o que nao implica que seja continua
no espaco todo.
   Abracos,
           Gugu
>
>Muito obrigada...
>
>O outro problema a que me referia era:
>
>"Seja X um espaço normado e f:X-> um funcional linear. f 
>é contínuo se e somente se seu nucleo é fechado"
>
>Resolvi assim (espero que corretamente) (Qualquer erro 
>favor comunicar)
>
>Se núcleo N de f é fechado então uma sequencia {xn} 
>convergente em N converge para x pertencente a N. Como 
>{xn} pertence a N temos que f(xn)=0. Como x também 
>pertence a N temos que f(x)=0. Assim f(xn)=0 tende para f
>(x) = 0 de onde concluímos que f é contínua em N. Mas 
>como f é linear então f é contínua em X.
>
>Seja agora f contínua. 
>Seja {xn} uma sequencia em N e x pertencente a X.
>
>xn tende para x
>
>como f é contínua temos que 
>
>0=f(xn) -> f(x)
>
>ou seja f(x) = 0. Assim x pertence a N e portanto N é 
>fechado.
>
>Isto está correto?
>
>
>>    Cara Alininha,
>>    Seja x em X e a=f
>(x). Dado d > 0, como f nao e' continuo (e logo nao e'
>> limitado), existe v em X com |v|<1 tal que |f(v)
>| > |a|/d. Temos entao 
>> f(x-a.v/f(v))=f(x)-a.f(v)/f(v)=a-a=0, e |x-(x-a.v/f(v)
>|=|a.v/f(v)|<=
>> <=|a|/|f(v)|<=|a|/
>(|a|/d) < d, ou seja, existem elementos do nucleo de f (a
>> imagem inversa de 0) arbitrariamente perto de x, ou sej
>a, o nucleo de f e'
>> denso em X.
>>    Abracos,
>>             Gugu
>> 
>> P.S.: O outro problema que voce mencionou e' uma conseq
>uencia desse: se f
>> nao e' continuo, nos acabamos de mostrar que o fecho do
> seu nucleo e' todo o
>> espaco X, mas seu nucleo nao e' todo o espaco X, senao 
>f seria identicamente
>> nula e portanto continua. Assim, se f nao e' continua s
>eu nucleo nao e'
>> fechado. 
>>  
>> >
>> >Caro Gugu,
>> >
>> >
>> >Mesmo com a sua ajuda e a do Nicolau não consegui 
>> >resolver esta questão. Estou um pouco decepcionada 
>> >comigo. Será que poderia me mostrar sua resolução da 
>> >questão? (Não sei o que codimensão que o Nicolau falou
> 
>> >mas parece que usando isto a demonstração é mais 
>> >compacta, não?)
>> >
>> >Um outro problema que acredito tenha demonstração 
>> >semelhante é mostrar que o núcleo de um funcional é 
>> >fechado se e somente se ele é contínuo.
>> >Este também não consegui resolver depois de muito 
>> >esforço.
>> >
>> >Serei muito grata pela sua ajuda!
>> >
>> >>     Cara Alininha,
>> >>     Use o fato de que um funcional linear que nao e'
> co
>> >ntinuo nao e'
>> >> limitado, ou seja, voce pode encontrar elementos v d
>e X
>> > com |v| < 1 e |f(v)|
>> >> tao grande quanto voce quiser para mostrar que, dado
> x 
>> >em X existem
>> >> elementos do nucleo de f (a imagem inversa de 0) arb
>itr
>> >ariamente proximos de
>> >> x, somando a x elementos pequenos de X escolhidos co
>nve
>> >nientemente.
>> >>    Abracos,
>> >>            Gugu
>> >> 
>> >> >
>> >> >Amigos,
>> >> >
>> >> >estou inciandos meus estudos de análise funcional s
>em 
>> >> >muito background matemático e por isso estou encont
>rad
>> >o 
>> >> >muitas dificuldades.
>> >> >
>> >> >Gostaria que me dessem, se possível, algumas dicas 
>par
>> >a 
>> >> >provar:
>> >> >
>> >> >"Seja X um espaço normado. Se f é  um funcional lin
>ear
>> > 
>> >> >NÃO contínuo Então a imagem inversa de 0 é denso em
> X"
>> >> >
>> >> >Quero resolver sozinha e por isso gostaria apenas d
>e 
>> >> >algumas dicas...
>> >> >
>> >> >Muito obrigada.
>> >> >
>> >> > 
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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