[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Tópicos de segundo grau

[Leandro Lacorte Recôva <lrecova@xxxxxxxxxxx>]

Um errinho no numero 1,

Na verdade C(10,3) = 120 e nao 240. Portanto,o resultado final fica
120-24=96 possibilidades, caso esteja correto o raciocinio. 



-----Original Message-----
From: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
[mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br] On Behalf Of Leandro Lacorte
Recôva
Sent: Tuesday, June 24, 2003 2:29 PM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Tópicos de segundo grau

Em uma urna existem fichas numeradas de 1 a 10. De quantos modos se
podem retirar 3 fichas de maneira que 
a soma dessas fichas não seja menor que 9?

Voce pode fazer o seguinte tambem:

1) Primeiro, calcular a combinacao de se retirar 3 fichas quaisquer. 

2) Segundo, calcular as possibilidades em que a soma seja menor que 9, o
que e mais facil do que calcular o contrario, ou seja, as somas que dao
maior ou igual a 9.   

3) Subtrair 1 de 2, que vai te dar o complementar de 2. 


Entao, facamos o seguinte:

1) C(10,3) = 10!/(3!7!) = 10.9.8/3 = 10.3.8 = 240 possibilidades de
tirar 3 fichas quaisquer. 

2) Para que a soma das 3 fichas seja menor que 9, devemos ter: 

x + y + z < 9 => y + z < 9 - x

Portanto, apos a retirada da 1a ficha, a soma das outras duas nao pode
exceder 9 - x. Assim, para cada caso de x temos:

x = 1 ; y + z < 8 => Valores possives pra y e z: (2,3) (2,4) (2,5) 
			   (3,2) (3,4) (4,2) (4,3) (5,2)  (Observe que o
numero 1 
				ja foi retirado e nao pode aparecer de
novo).
			   

x=2   ;  y+z < 7  => Valores possives pra y e z: (1,3) (1,4) (1,5) 
			   (3,1) (4,1) (5,1) (Observe que o numero 2 ja
foi 
			    retirado e nao pode aparecer)

x=3   ;  y+z < 6  =>  Valores possiveis pra y e z: (1,2) (1,4) (2,1)
(4,1) 
			    (O numero 3 nao pode aparecer novamente)
			    
x=4	;  y+z < 5  =>  Valores possiveis pra y e z: (1,2) (1,3) (2,1)
(3,1) 

x = 5 ;  y+z < 4  =>  Valores possiveis pra y e z: (1,2) (2,1) 


Portanto, temos 24 casos possiveis em que a soma seja menor que 9.
Portanto, as somas que serao maiores ou iguais a 9 sao dadas por 1-2, ou
seja, 240-24=216 possibilidades. 


Se eu estiver errado, por favor , me corrijam !!!! 

Leandro.
 
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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