Re: [obm-l] flw:Complexos

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Sat, Jun 07, 2003 at 04:19:39PM -0400, Faelccmm@aol.com wrote:
> Como provar que:
> 
> 
> cos x = (e^ix + e^-ix)/2      
> 
> e
> 
> sin x = (e^ix - e^-ix)/2i

Bem, eu suponho que a pergunta mesmo é pq e^(it) = cos t + i sen t,
as fórmulas acima seguem facilmente disso. Ou mais geralmente, pq temos
e^(a+bi) = e^a (cos b + i sen b).

A resposta formalista é que esta é a definição de exponencial complexa
e definição não se demonstra.

Mas existem respostas mais interessantes do que esta. A que me parece
melhor é dizer que esta é a única definição de exp: C -> C que preserva
as suas propriedades favoritas da exponencial.

A propriedade mais básica (e mais importante) é sem dúvida
e^(u+v) = e^u e^v.
Esta ajuda bastante mas não resolve tudo. Pq não definir, digamos
e^(a+bi) = e^a (cos cb + i sen cb)
para outro valor da constante real c diferente de 1?

Para ver pq a escolha c=1 é melhor do que outras você precisa de alguma
coisa parecida com cálculo. Por exemplo,

lim_{z -> 0} (e^z - 1)/z = 1

Este limite só dá certo para z complexo com a definição usual.
Uma outra explicação comum (tb usando cálculo) é via série de Taylor;
esta alguém já deu, não vou repetir. A explicação menos elementar
porém mais elegante é que a definição usual de exponencial complexa
é a única forma de estender a exponencial real para uma função
derivável *no sentido complexo*.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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