Re: [obm-l] Numeros complexo e formula de Euller...

[André Araújo <araujoime@xxxxxxxxx>]

> Como eu fç pra demonstrar a que r(cosx + isenx)=re^ix ???
>
Oi Leonardo,

Para verificar a identidade a acima usarei um resultado de calculo, serie de
Taylor. Caso vc ainda nao tenha visto serie de Taylor, a ideia da mesma eh
aproximar funcoes por polinomios.

Primeiramente note que:

i^0 = 1
i^1 = i
i^2 = -1 (por definicao)
i^3 = i * i^2 = -i
i^4 = (i^2)^2 = 1 = i^0

De uma forma mais geral, todo interiro deixa resta 0, 1, 2 ou 3 quando
dividido por 4. Ou seja, um inteiro naum negativo eh da forma 4k + r, onde k
= 0, 1, 2, ... e r = 0, 1, 2 ou 3. Assim,

i^(4k + r) = (i^4k) * (i^r) = [(i^4)^k]*(i^r) = (1^k) * (i^r) = i^r.

Portanto i^n eh igual a i^r, onde r eh o resto da divisao de n por 4. Note
que i^n tem periodicidade 4.

A expansao infinita da serie de Taylor da funcao exponencial eh:

e^y = 1 + y + (y^2)/2! + . . . + (y^n)/n! + . . .

Substituindo y por ix, tem-se:

e^(ix) = 1 + ix + [(ix)^2]/2! + [(ix)^3]/3! + [(ix)^4]/4! +  . . .

Agora agrupa-se os termos com expoentes pares e impares separadamente, logo:

e^(ix) = {1 + [(ix)^2]/2! + . . . + [(ix)^(2n)]/ (2n)! + . . .} +
{[(ix)^3]/3! + . . . + [(ix)^(2n +1)]/ (2n + 1)! + . . .}

 Um numero par deixa resto 0 ou 2 quando dividido por 4 e um impar 1 ou 3.
Assim,

 e^(ix) = {1 + (-1)x^2/2! + . . . + [(-1)^n]x^(2n)/ (2n)! + . . .} +
{(-1)ix^3/3! + . . . + [(-1)^n]ix^(2n +1)/ (2n + 1)! + . . .}

          = {1 + (-1)x^2/2! + . . . + [(-1)^n]x^(2n)/ (2n)! + . . .} +
i{(-1)x^3/3! + . . . + [(-1)^n]x^(2n +1)/ (2n + 1)! + . . .}

Note que a primeira soma eh a expansao infinita da serie de Taylor da funcao
cosseno e a segunda da funcao seno. Logo:

e^(ix) = cos(x) + i sen(x).

[]'s

Andre Araujo.










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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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