[obm-l] Problemas de Algebra Linear

["Henrique Patrício Sant'Anna Branco" <hpsbranco@xxxxxxxxxxxxxx>]

Pessoal,

Tenho uma lista de Algebra Linear pra resolver e, como sou iniciante, tenho
tido problemas (de confiança) com esses exercícios. Não sei se o que eu
estou fazendo é certo. Vou mandar minha resolução dos mesmos e gostaria que
alguém comentasse:

1 - Seja A: R^4 -> R^4 a aplicação linear representada com respeito à base
canônica pela matriz
( 1   1   0   0 )
( 0   0   1   1 )
( 1   0   1   0 )
( 0   1   0   1 )
Encontre uma base para R^4 constituída por elementos de N(A) e Im(A).

Minha solução:
Para acharmos a matriz da transformação T, multiplicamos essa dada por um
vetor genérico, digamos (x, y, w, z). Fazendo isso, achamos a seguinte
matriz T:

( x + y )
( w + z )
( x + w )
( y        )

Igualando cada linha acima a zero para achar o núcleo, vemos que o núcleo só
possui o vetor nulo. Portanto, a imagem deve ter dimensão 4 (Teorema do
Nucleo e da Imagem). Agora podemos dar alguns valores arbitrários, formando
um conjunto de 4 vetores L.I., que seriam uma base do R^4, do tipo y = 0, x
= 0, z = 1, w = 1 etc.

2 - Determine se a transformaçao linear T: R^3 -> R^3, dada por T(x,y,z) =
(4x-z, x+2y+2z, 3x+y+3z) é invertivel usando o Teorema do Nucleo e da
Imagem.

Bom, aqui é fácil ver que N(T) = {0}, logo a transformação é injetiva. Mas,
por um corolário do Teorema do Nucleo e da Imagem, como estamos lidando com
espaço de saída e de chegada de dimensao iguais, T é injetiva se, e somente
se, é sobrejetiva. Portanto, ela é sobrejetiva também. Enfim, temos que T é
bijetiva e, portanto, invertível.

Nesse, a minha dúvida reside no fato de poder ou não considerar a volta. Na
Lógica, usávamos 'se, e somente se' para indicar uma implicação para os dois
lados, mas aqui também é possível fazer isso?
Em tempo, ele pediu para demonstrar isso usando o Teorema do Núcleo e da
Imagem, mas se tivesse pedido apenas para demonstrar de qualquer coisa, eu
poderia dizer que os dois espaços são isomorfos a R^n, e portanto, isomorfos
entre si? E isso acarretaria que T é um isomorfismo e, portanto, invertível?

Valeu pela ajuda, pessoal!
Henrique.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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