Re: [obm-l] derivada de ordem 1000

[Augusto Cesar de Oliveira Morgado <morgado@xxxxxxxxxxxxxxx>]

Em Fri, 06 Jun 2003 11:50:58 -0700, niski <fabio@niski.com> disse:

> 
> 
> A. C. Morgado wrote:
> > e^x = 1 +x +...+ [x^500]/500! +...
> > f(x) = e^(x^2) = 1 + x^2 +...+(x^1000)/500!+...
> > f(1000)(0) = 1000!/500!
> > Ou seja, eh exatamente o que voce pensou.
> 
> Olá prof. Obrigado pela resposta. No entando continuo me 
> confundindo...vou ser mais especifico:
> 
> seja f(x) = e^(x^2)
> O polinomio de Taylor de f(x) em torno de 0  é :
> P(x) = c[0] + c[1]x + c[2]x^2 + c[3]x^3 + c[4]x^4 + ...
> P'(x) = c[1] + 2c[2]x + 3c[3]x^2 + 4c[4]x^3 + ...
> P''(x) = 2c[2] + 3.2c[3] + 4.3c[4]x^2 + ... (falta um x; errinho de digitaçao)
> P'''(x) = 3.2.c[3] + 4.3.2c[4]x + ...
> P(4)(x) = 4.3.2c[4] + ...
> ....
> P(1000)(x) = (1000!)c[1000]
> ....
> 
> Estou interessado neste ultimo.
> Mas com a derivada no ponto x = 0, então
> P(1000)(0) = (1000!)c[1000] (I)
> 
> Para isso preciso do milésimo coeficiente.
> 
> Ora, se c[0] = 1
>          c[1] = x^2 (*c[1] e todos os c[n] para n impar sao 0*]
>          c[2] = (x^4)/2!  [c[2]=1/1!]
>          c[3] = (x^6)/3!   [*c(3)=0*]
> Por intuicao creio que c[n] = (x^2n)/n! [*c(n)= 1/(n/2)! se n par*]
> Então
> c[1000] = (x^2000)/1000! (II)  [*c(1000)=1/500!*]
> [Essas coisas ja ficaram desnecessariamente complicadas e voce ja teve que recorrer a induçoes suspeitas so porque voce nao quer usar o que o Rudin chamou de o resultado mais importante da Matematica:
 e^x = 1 +x +...+ [x^500]/500! +...]

> Substituindo I em II vem
> 
> P(1000)(0) = (1000!)(0^2000)/1000! [*...= 1000!.1/500!]Fim
> P(1000)(0) = 0.
> 
> Qual erro eu cometi professor?!
> 
> Obrigado.
> 
> Fabio Niski
> -- 
> [about him:]
>   It is rare to find learned men who are clean, do not stink and have a 
> sense of humour.
> -Gottfried Whilhem Leibniz
> 
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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