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Re: [obm-l] Problemas sobre sequencias recorrentes
So' uma observacao:
Essa solucao que eu escrevi esta' admitindo que o primeiro salario e' o
do mes 1. Se for o do mes 0 a resposta muda um pouco: passaremos a ter
A+B = r_0 = a
A.((i+p)/p)+B = r_1 = a+b+(i/p).a,
donde A=(bp+ai)/i e B=-bp/i, donde
r_j=((bp+ai)/i).((i+p)/p)^j-bp/i.
Esse resultado saiu mais bonitinho, o que me faz gostar dessa
interpretacao... Seria interessante saber a interpretacao do Morgado...
Abracos,
Gugu
>
> Caros colegas,
> A solucao do Marcio para o problema 3 abaixo esta' otima, mas pelo que eu
>entendi do enunciado, ele calculou 1-q_n, onde q_n e' a probabilidade
>pedida. Assim, q_n e' igual a
>1-((10+5sqrt(2))/16).((2+2sqrt(2))/5)^n-((10-5sqrt(2))/16).((2-2sqrt(2))/5)^n.
> Como eu tinha combinado com o Marcio vou fazer o problema 2. Eu escrevi
>para o Morgado sobre o enunciado desse problema, pois eu achava esquisito
>que o sujeito recebesse mensalmente mas so' aplicasse anualmente (ele devia
>guardar uma parte da renda no colchao todo mes e so' aplica-la no fim do
>ano...). A resposta do Morgado foi a seguinte:
>
>Esse problema da renda eh um problema do Boole!
>Saxoes costumam discutir salarios anuais. Agora, esse problema estah mal
>transcrito. Tudo era anual!
>
> Assim, latinizando o problema (i.e., trocando "anualmente" por
>"mensalmente"), e trocando "mes i" por "mes j", para nao confundir com a
>taxa, ele fica assim:
>2) o salario de carmelino no mes n e' s_n=a+bn. Sua renda mensal e' formada
>pelo salario e pelos juros de suas aplicacoes financeiras.Ele poupa
>mensalmente 1/p de sua renda e investe sua poupanca a juros mensais de taxa
>i. Determine a renda de carmelino no mes j.
>
> Agora vamos la':
> Sejam r_j a renda e T_j o total aplicado no mes j. Temos, para todo j>=1,
>(1) r_j=s_j+i.T_(j-1)=a+bj+i.T_(j-1) ;
>(2) T_j=T_(j-1)+r_j/p ,
> com T_0=0.
> De (1), temos T_(j-1)=(r_j-a-bj)/i, e T(j)=(r_(j+1)-a-b(j+1))/i.
>Substituindo em (2), obtemos r_j/p=T_j-T_(j-1)=(r_(j+1)-r_j-b)/i, donde
>r_(j+1)=((i+p)/p).r_j+b. A solucao geral desse tipo de recorrencia e'
>r_j=A.((i+p)/p)^j+B, para alguma escolha das
>constantes A e B (pois (i+p)/p nao e' 1; um jeito de ver isso e' notar que a
>recorrencia implica r_(j+2)-r_(j+1)=((i+p)/p).(r_(j+1)-r_j), e logo
>d_j=r_(j+1)-r_j e' uma PG de razao (i+p)/p, bastando soma-la para obter uma
>formula para r_j). Resolvendo o sistema
>A.((i+p)/p)+B = r_1 = a+b
>A.((i+p)/p)^2+B = r_2 = a+2b+(i/p).(a+b),
>obtemos A=p(ai+b(p+i))/(i(p+i)) e B=-bp/i, e portanto
>r_j=p(ai+b(p+i))/(i(p+i)).((i+p)/p)^j-bp/i.
>
> Abracos,
> Gugu
>
>
>>Re: [obm-l] Raiz QuadradaCumprindo o prometido.. :)
>>2) Algo que eh util em varios problemas de recorrencia eh ir calculando =
>>os 1o termos da sequencia para ver o que esta acontecendo:
>>No mes 0, Carmelino (C) nada fez e portanto tem M(0) =3D S(0) =3D a (M =
>>de montante total).
>>Ja no mes 1, C ganha S(1) =3D a + b de salario e ele ganha i*M(0) de =
>>juros (pois os juros incidem sobre=20
>>
>>3) Seja p(n) a resposta pedida. p(1)=3Dp(2)=3D1, pq pra ganhar taca sao =
>>necessarios ao menos 3 torneios. Vamos olhar para p(3):
>>Para que o torneio nao termine no 3o torneio, eh razoavel dividir a =
>>situacao em dois casos:
>> a) Se o vencedor do 2o torneio for diferente do vencedor do 1o (o =
>>que ocorre com probabilidade 4/5), entao o vencedor do torneio3 pode ser =
>>qq um que a taca nao sera ganha.
>> b) Se por outro lado, o vencedor V(2) do 2o torneio for igual ao do =
>>1o - V(1) (o que ocorre com prob. 1/5), entao para a taca nao ser ganhar =
>>no 3o,basta que V(3) seja diferente de V(2) (o que ocorre com prob. =
>>4/5).=20
>>Somando, veja que p(3) =3D 4/5 + 1/5 * 4/5 =3D 24/25
>>
>>Agora p(4):
>> a) Se V(2) !=3D V(1) (prob. 4/5), entao o problema agora eh: Qual a =
>>probabilidade de, nos torneios 2,3,4, a taca nao ser dada para ninguem. =
>>E isso eh justamente p(3) (apenas os torneios mudaram de nome).=20
>> b) Se V(2)=3DV(1) (prob. 1/5), entao o torneio 3 tem que ser ganho =
>>por um time diferente de V(1) (prob. 4/5), e dai basta que a taca nao =
>>seja ganha nos torneios 3,4 (essa probabilidade eh p(2)=3D1).
>>Portanto, p(4) =3D 4/5 * p(3) + 1/5 * 4/5 * p(2)
>>
>>Esse raciocinio pode ser generalizado de maneira analoga:
>>Para calcular p(n+2), divida em dois casos:
>> a) Se V(2)!=3DV(1) (prob. 4/5), entao basta saber a probabilidade de =
>>a taca nao ser ganha nos torneios 2,3,...,n+2, que eh p(n+1).
>> b) Se V(2)=3DV(1) (prob. 1/5), entao deve-se ter V(3)!=3DV(2) =
>>(prob.4/5) e dai a taca nao deve ser ganha nos torneior 3,4,...,n+2, o q =
>>ocorre com prob. p(n).
>>Logo, p(n+2) =3D 4/5 * p(n+1) + 1/5 * 4/5 * p(n), i.e, 25p(n+2) =3D =
>>20p(n+1) + 4p(n).
>>Resolvendo a eq. caracteristica correspondente: 25t^2 - 20t - 4 =3D 0, =
>>donde t =3D (2 +- 2sqrt(2)) / 5.
>>Logo, p(n) =3D A* [(2+2sqrt(2))/5]^n + B*[(2-2sqrt(2))/5]^n=20
>>Analisando p(1) e p(2) (ou mais simples ainda, note que pondo n=3D0 na =
>>recorrencia, tem-se p(0) =3D (25-20)/4 =3D 5/4 para a recorrencia fazer =
>>sentido em 0):
>>A+B =3D 5/4
>>2*(A+B) + 2sqrt(2)*(A-B) =3D 5 =3D> A-B =3D 5sqrt(2)/8 =20
>>Logo A =3D [10+5sqrt(2)]/16 e B =3D [10-5sqrt(2)]/16.
>>
>>Isso fecha o problema..
>>
>>O 2 ja tem dono, serah feito em breve :)) O fato de ele receber =
>>mensalmente e soh poupar anualmente parece deixar a coisa um pouquinho =
>>mais chata de ser escrita.
>>
>>
>>
>> ----- Original Message -----=20
>> From: Marcio=20
>> To: obm-l@mat.puc-rio.br=20
>> Sent: Saturday, May 24, 2003 9:45 AM
>> Subject: Re: [obm-l] Problemas sobre sequencias recorrentes
>> > 2) o salario de carmelino no mes n =E9 sn=3Da +bn. Sua renda
>> > mensal =E9 formada pelo sal=E1rio e pelos juros de suas=20
>> > aplica=E7=F5es financeiras.Ele poupa anualmente 1/p de sua=20
>> > renda e investe sua poupan=E7a a juros mensais de taxa=20
>> > i.determine a renda de carmelino no mes i.
>> >=20
>> >=20
>> > 3) 5 times de igual for=E7a disputar=E3o todo o ano um=20
>> > torneio.Uma ta=E7a ser=E1 ganha pelo time que vencer 3 veze
>> s=20
>> > consecutivas.Qual a probabilidade da ta=E7a ser ganha nos
>>
>> > n primeiros torneios?=20
>>
>>
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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