RE: [obm-l] Problema

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Oi Fernando,
Temos que (n!)^2 = 1 2...(n-1)n X 1 2...(n-1)n. = 1.2...(n-1).n X n
(n-1)...2 1= 1n 2(n-1)...n.1. Temos entao que (n!)^2 = Produto( k=1,n)
k(n-k+1) = Produto(k=1,n) -k^2+(n+1)k
Cada termo do produto eh portanto um polinomio do segundo grau em k, que
apresenta um maximo para k= (n+1)/2 (embora este valor nao seja inteiro
quando n eh par, se o substituirmos no polinomio obtemos um limite superior
para o mesmo) e eh portanto simetrico com relacao aa vertical k = (n+1)/2.
Logo, o polinomio, para k=1,2...n, apresenta valor minimo quando k estah nos
pontos extremos de seu dominio discreto {1,2...n}. Isto ocorre para k=1 ou
k=n e obtemos o minimo de n. Concluimos assim que cada termo do produto eh
>=n e que, portanto, (n!)^2 >= Produto(k=1,n) n = n^n. Para n=1,2 obtemos
igualdade e para n>=3 desigualdade estrita, pois diversos termos do produto
tornam-se maiores que n. Por exemplo, para k =2 obtemos 2(n-1)>n para n>=3.
Isto prova a desigualdade.
Deve haver tambem uma outra demonstracao baseada em inducao finita. 
Um abraco
Artur      

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Sent: Thursday, January 01, 1998 12:56 AM
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Subject: [obm-l] Problema




Gostaria de ajudar o para o seguinte problema:
Mostrar que:
se o inteiro n>/ 3, então ( n!)^2 > n^n
Atenciosamente,
Fernando.

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