RE: [obm-l] rotacional e divergente.

["Artur Costa Steiner" <artur_steiner@xxxxxxx>]

Oi Fabio,
O divergente de um campo vetorial eh definido como o limite, quando a area
de uma superficie  tende a zero, da relacao entre o fluxo do vetor ao longo
da superficie e a area pela mesma englobada. Sendo Vx, Vy e Vz as
componentes de um vetor V, esta definicao acarreta que div V = DVx/Dx +
DVy/Dy + DVz/Dz, onde D significa derivada parcial (assumindo que existam).
Assim, o divergente representa uma grandeza especifica, qual seja o fluxo
por unidade de area em cada ponto de uma supeficie do espaco. Divergente
nulo significa que naquele ponto nao ha fluxo atravessando a superficie.
Assim, a famosa equacao da continuidade da Mecanica dos Fluidos diz que,
para um fluido em escoamento, o divergente do vetor vazao e nulo em todos os
pontos, o que signfica que nao eh possivel que "um pedaco" de liquido se
destaque do resto da massa de liquido. O fluxo de um vetor ao longo de uma
superficie eh definido como a integral sobre a superficie do produto escalar
do vetor pela vetor area elementar, o qual eh um vetor normal aa superficie
e de modulo igual aa area elementar. Gauss demonstrou o famoso Teorema da
Divergencia, o qual atesta que o fluxo de um vetor V ao longo de uma
superficie fechada e igual aa integral ao longo do volume pela mesma
englobada de div V dv (dv - elemento de volume). Ele aplicou este teorema aa
eletricidade e concluiu, usando as equacoes de Maxwel, que o fluxo do vetor
campo eletrico ao longo de uma supeficie fechada e a carga liquida contida
na mesma.

O rotacional de um campo vetorial eh um outro campo vetorial. Em cada ponto
do espaco no qual atue um campo vetoria V, o rot V eh definido da seguinte
maneira: pegue uma curva fechada que engloba uma area A. Calcule o trabalho
realizado pr V ao longo da curva e divida-o pela ara A. O limite quando A
tende a zero desta relacao eh o modulo do rotacional. Ele tem direcao norma
aa superficie. Hah um teorema, acho que de Stokes, se nao me falha a
memoria, que diz que o fluxo do rotacional de V ao longo de uma superficie
que compreende uma curva fechada e igual ao trabalho realizado por V ao
longo da curva. Se este fluxofor zero, entao o trabalho realizado por V eh
nulo, e o campo  vetorial eh dito conservativo. Isto eh mais facil d
enetnsder quando se trata de um campo de uma forca F. Se nao houver atrito,
o rotacional de F eh nulo, o que significa que o trabalho de F ao longo de
uma curva fechada eh nulo. Vale dizer que o trabalho para deslocar F de A
ate B eh, em modulo, igual ao trabalho d desloca-la de B ateh A, nao ha
perda por atrito. Dai o nome campo conservativo. 


Eh o que pude me lembra no momento. Em livros de Eletromagnetismo, tanto no
calssico como no moderno(teoria da relatividae) vc encontra muitas
aplicacoes de tais conceitos.  
Artur            

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>On Wednesday 28 May 2003 10:25, Wellington Nogueira wrote:
>> Olá pessoal,
>>
>> Alguém sabe me dizer qual é a física por de trás do conceito de 
>> divergente e rotacional? Pode ser indicações de páginas ou livros 
>> também. Estava querendo entender melhor porque é preciso dar zero o 
>> div. de um campo vetorial ou vetor nulo o rot de um campo vetorial 
>> para que ele seja considerado conservativo.
>>
>> Como os matemáticos/físicos chegaram a essa conclusão?
>> [...]
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>Fábio "ctg \pi" Dias Moreira
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