[obm-l] Conjuntos

["marcelo.paiva.jr4" <marcelo.paiva.jr4@xxxxxxxxxx>]

Olá pessoal da lista, resolvi uma questão, mas não tenho 
o gabarito, gostaria que alguém desse uma olhada na 
minha resolução -ficou, infelizmente, extensa e 
complicada-, e se possível, fizesse alguma sugestão ou 
crítica quanto a minha resolução. Por exemplo, quais os 
erros diante uma mesa examinadora de vestibular. Estarei 
grato por qualquer esclarecimento.

(ITA-96) Sejam A e B subconjuntos não vazios de R, e 
considere as seguintes afirmações:
I. (A – B)^c   (B ∩ A^c)^c = vazio
II. (A – B^c)^c = B - A^c
III. [(A^c – B) ∩ (B – A)]^c = A
Sobre essas afirmações, podemos garantir que:
(A) Apenas afirmação I é verdadeira.
(B) Apenas a afirmação II é verdadeira.
(C) Apenas III é verdadeira.
(D) Todas as afirmações são verdadeiras
(E) Apenas as afirmações I e III são verdadeiras.

Solução:
OBS: nE = não pertence
     "I" = interseção
I. (A – B)^c "I" (B ∩ Ac)^c = vazio 
=> R – (A – B) ∩ (B^c ∩ A)
(1) R – (A – B) => (x E R) e (x nE (A – B))  
=> x E R e x nE [(x E A) e x nE B)]
=> (x E R) e (x nE A) e (x E B)
(2) (B ∩ A^c)^c  => (B^c U A) => (R – B) U (x E A)  
=> [(x E R) e (x nE B)] U (x E A)
=> (x E R) e (x nE B) ou (x E A)
Portando, (1) "I" (2) = (x E R) e (x nE A) e (x nE B) 
ALTERNATIVA FALSA

II.
(1)(A – B^c)^c => A^c - B => (x E A^c) e (x nE B)
=> x E [(x E R) e (x nE A)] e (x nE B)
=> (x E R) e (x nE A) e (x nE B)
(2) B - A^c => (x E B) e (x nE A^c)
=> (x E B) e x nE[(x E R) e (x nR A)
=> (x E B) e (x nE R) e (x E A)
ALTERNATIVA FALSA

III.
[(A^c – B) ∩ (B – A)]^c = A
(1)[(A^c – B) ∩ (B – A)]^c => (A^c - B)^c U (B - A)^c
=> (A - B^c) U (B^c - A^c)
=>[(x E A) e (x nE B^c)] U [(x E B^c) e (x nE A^c)
=> {(x E A) e x nE[(x E R) e (x nE B)] 
U (x E[(x E R) e (x nE B)] e (x nE[(x E R) e (x nE A)]) 
= [(x E A) e (x nE R) e (x E B)] U [(x E R) e (x nE B) e 
(x nE R) e (x E A)] 
= x E A 
ALTERNATIVA VERDADEIRA.

Obrigado pela atenção.
Marcelo Paiva Jr.

 
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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