Re: [obm-l] triangulos equilateros

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

----- Original Message -----
From: "Rafael" <matduvidas@yahoo.com.br>
To: "OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Friday, May 16, 2003 5:25 PM
Subject: [obm-l] triangulos equilateros


> ABC e DEF são triangulos equiláteros inscritos em
> circunferências concêntricas C'  e C''. P e Q são
> tomados respectivamente sobre as circunferências C' e
> C''. Demonstrar a relação:
> (QA)² + (QB)² + (QC)² = (PD)² + (PE)² + (PF)²
>
Oi, Rafael:

Triangulos equiláteros; soma de quadrados ... Isso tem cara de números
complexos.

Sejam R1 e R2 os raios de C' e C'', respectivamente.

Teremos:
A = R1,    B = R1*exp(i*2Pi/3)),    C = R1*exp(-i*2Pi/3)

D = R2*exp(i*a),    E = R2*exp(i*(a+2Pi/3)),    F = R2*exp(i*(a-2Pi/3))

P = R1*exp(i*x)   e   Q = R2*exp(i*y)

onde a, x e y são números reais arbitrários.

Vamos, agora, usar os seguintes dois lemas:
1) Sejam os números complexos R1*exp(i*u) e R2*exp(i*v). Então:
| R1*exp(i*u) - R2*exp(i*v) |^2 = R1^2 + R2^2 - 2*R1*R2*cos(u - v)
Dem:
Basta expandir o lado esquerdo e usar que cos(u - v) = cos(u)*cos(v) +
sen(u)*sen(v)

2) Para todo x real: cos(x) + cos(x-2Pi/3) + cos(x+2Pi/3) = 0
Dem:
Sabemos que 1 + exp(i*2Pi/3) + exp(-i*2Pi/3) = 0 (soma das 3 raízes cúbicas
da unidade)
Multiplicando por exp(i*x), teremos:
exp(i*x) + exp(i*(x+2Pi/3)) + exp(i*(x-2Pi/3)) = 0.
Tomando a parte real, obtemos o resultado.

Usando o Lema 1, teremos:
|Q - A|^2 = R1^2 + R2^2 - 2*R1*R2*cos(y)
|Q - B|^2 = R1^2 + R2^2 - 2*R1*R2*cos(y - 2Pi/3)
|Q - C|^2 = R1^2 + R2^2 - 2*R1*R2*cos(y + 2Pi/3)

Somando estas 3 equações e usando o Lema 2 nos termos em R1*R2, vem:
|Q - A|^2 + |Q - B|^2 + |Q - C|^2 = 3*(R1^2 + R2^2)

Analogamente, via Lema 1, teremos:
|P - D|^2 = R1^2 + R2^2 - 2*R1*R2*cos(x - a)
|P - E|^2 = R1^2 + R2^2 - 2*R1*R2*cos(x - a - 2Pi/3)
|P - F|^2 = R1^2 + R2^2 - 2*R1*R2*cos(x - a + 2Pi/3)

E, portanto:
|P - D|^2 + |P - E|^2 + |P - F|^2 = 3*(R1^2 + R2^2)

Logo, vale a igualdade:
|Q - A|^2 + |Q - B|^2 + |Q - C|^2 = |P - D|^2 + |P - E|^2 + |P - F|^2


Um abraço,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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