[obm-l] Derivadas Parciais Mistas

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Derivadas Parciais Mistas

> Marcos Reynaldo <marc_reybr@yahoo.com.br> wrote:
> > Estava observando uns exercicios de derivadas parciais
> > e observei, pelo menos os que vi, que se voce derivar
> > uma função em relação a x e depois pegar o resultado e
> > derivar em relação a y, dá no mesmo que derivar em
> > relação a y primeiro e depois o resultado em relação a
> > x. Isso sempre acontece ou foi só coincidencia.
> >
> >
> > Oi, Marcos:
> >
> > Voce deve ter tratado apenas de funcoes bem comportadas. Mais formalmente, tem um teorema de analise no R^n (teorema de Schwarz) que diz o seguinte:
> >
> > Seja X um subconjunto aberto de R^n e seja F:X -> R^n uma funcao duas vezes diferenciavel num dado ponto a de X (ou seja, para 1 <= i <= n, as funcoes dF/dx_i: X -> R sao diferenciaveis no ponto a).
> > Entao d^2F/(dx_i*dx_j)(a) = d^2F/(dx_j*dx_i)(a) para 1 <= i, j <= n.
> >
> > O contra-exemplo classico eh a funcao F: R^2 -> R dada por:
> > F(x,y) = xy(x^2 - y^2)/(x^2  + y^2) se x^2 + y^2 = 0;
> > F(0,0) = 0.
> >
> > Esta funcao tem derivadas de segunda ordem em todo o R^2 mas as derivadas mistas sao diferentes na origem.
> >
> > Pergunta: para esta F, onde sao desobedecidas as hipoteses do teorema?
> >
> >
> > Um abraco,
> > Claudio.