Re: [obm-l] soma dos quadrados

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, May 08, 2003 at 12:02:14AM -0300, Gustavo Vasconcelos wrote:
> Como demostrar ou onde encontro  a domostração da formúla
> da soma dos quadrados dos N primeiros numeros naturais? 

Se p é um polinômio de grau n então

  Sp(n) = soma_{1 <= k <= n} p(k), para n > 0,

é um polinômio de grau (n+1). Isto não é muito difícil 
de provar mas vou pular esta parte pq não vamos realmente
precisar. Usando este fato (talvez duvidoso para você,
já que não demonstrei) a função que você quer é um polinômio
q de grau 3 com

  q(n) = a n^3 + b n^2 + c n + d = 1^2 + 2^2 + ... + n^2

  q(0) = d = 0
  q(1) = a + b + c + d = 1
  q(2) = 8a + 4b + 2c + d = 1^2 + 2^2 = 5
  q(3) = 27a + 9b + 3c + d = 1^2 + 2^2 + 3^2 = 14

e resolvendo temos a = 1/3, b = 1/2, c = 1/6 donde

  q(n) = (2 n^3 + 3 n^2 + n)/6 = n(n+1)(2n+1)/6

Bem, você talvez esteja desconfiado já que eu afinal não provei
que a resposta tinha que ser um polinômio de grau 3, só disse
que isso era um teorema. Mas podemos agora provar que a fórmula
é correta por indução. Supondo por absurdo que a fórmula esteja
errada, seja n o menor inteiro positivo para o qual

  n(n+1)(2n+1)/6 != 1^2 + 2^2 + ... + (n-1)^2 + n^2

Mas como n é mínimo (e como já vimos que a fórmula vale para 0,1,2,3)
temos

  (n-1)n(2n-1)/6 = 1^2 + 2^2 + ... + (n-1)^2

donde

  n(n+1)(2n+1)/6 != (n-1)n(2n-1)/6 + n^2

o que é absurdo.

Assim a fórmula vale sempre.

[]s, N.



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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