Re: [obm-l] Ajuda com PVI

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 05.05.03 19:52, Eduardo Botelho at matematika@terra.com.br wrote:

> Olá a todos.
> 
> Queria uma ajuda para achar a constante de integração do seguinte PVI:
> y' + y = 1/(1+t^2), com
> y(1) = 3.
> gabarito: y = e^(-t)[ integral(e^t/(1+t^2)) + 5] . Como achar esse 5?
> 
> Abraço
> Eduardo
> 
Oi, Eduardo:

Eu tambm nao consegui achar o 5. Veja so:

Eu multipliquei a equacao original pelo fator integrante e^t, obtendo:
e^t*y' + e^t*y = e^t/(1+t^2) ==>

(y*e^t)' = e^t/(1+t^2).


Integrando de 1 a T, eu obtive:

INTEGRAL(1 a T) (y*e^t)' = INTEGRAL(1 a T) (e^t/(1+t^2))  ==>

y(T)*e^(T) - y(1)*e^(1) = INTEGRAL(1 a T) (e^t/(1+t^2))


Usando a condicao inicial y(1) = 3:

y(T)*e^(T) - 3*e = INTEGRAL(1 a T) (e^t/(1+t^2)) ==>

y(T) = e^(-T)*[ INTEGRAL(1 a T) (e^t/(1+t^2))  +  3*e ]

*****

Agora, seja F(t) uma integral indefinida de e^t/(1+t^2).
Pelo Teorema Fundamental do Calculo, teremos que:
INTEGRAL(1 a T) (e^t/(1+t^2)) = F(T) - F(0)
Como F(t) eh unica A MENOS DE UMA CONSTANTE ADITIVA, podemos escolher esta
constante de forma que F(0) = 3*e - 5. Assim, com esta escolha, a solucao da
equacao diferencial seria:

y(T) = e^(-T)*[ F(T) - F(0) + 3*e] = e^(-T)*[ F(T) + 5 ],

com F'(t) = e^t/(1+t^2)

Mas isso me parece um tanto artificial...


Um abraco,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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