Re: [obm-l] Exponencial de uma matriz

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Tue, Apr 29, 2003 at 07:16:19PM -0300, David Ricardo wrote:
> Pessoal, eu tenho uma dúvida que já me perturba há uns dois anos e nunca
> perguntei a ninguém...
> 
> Em Teoria de Controle utilizamos muito a exponencial de uma matriz (exp(At),
> onde A é uma matriz e t é o tempo) para fazer a representação de um sistema
> discreto em variáveis de estado.
> 
> Eu sei calcular isso utilizando transformada de Laplace inversa de (sI-A)^-1
> ou expansão em série de Taylor, mas o que significa um número elevado a uma
> matriz? Eu não estou conseguindo exergar bem isso...

Acho que a interpretação que você quer é a seguinte:

A equação diferencial v' = Av, v(0) = v0
(onde v: R -> R^n é uma função cujos valores são vetores
e A é uma matriz real nxn fixa) tem por solução

v(t) = exp(tA) v0

Você pode, se desejar, escrever exp(tA) = (e^t)^A.

Ou talvez você queira discutir o que significa f(A) onde
A é uma matriz quadrada nxn (real ou complexa) e f: D -> C
é uma função analítica, onde C é o conjunto dos números complexos
e D é um subconjunto aberto de C contendo todos os elementos
do espectro de A (os autovalores de A). Uma definição é a seguinte.
Se A é diagonalizável escreva A = X^(-1)BX onde B é diagonal.
A matriz f(B) também é (por definição) diagonal e tem entrada ii
igual a f(b_ii); defina f(A) = X^(-1) f(B) X.
A função f assim definida pode ser estendida continuamente
(aliás analiticamente) a DD, o conjunto de todas as matrizes nxn
complexas com espectro contido em D, definindo assim f: DD -> C^(nxn).

A exponencial da matriz é um caso particular disso.

[]s, N.
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================