Re: [obm-l] ajuda com desigualdade

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, Igor:

Infelizmente, nem todas as suas desigualdades intermediarias sao
verdadeiras.

Se a >= b >= c > 0, entao a^3 + b^3 >= 2abc
mas nao eh verdade que:
a^3 + c^3 >= 2abc  nem que  b^3 + c^3 >= 2abc
(tome a = b = 3, c = 2)

Para ver que a^3 + b^3 >= 2abc basta demonstrar que
a^3 + b^3 >= 2ab^2

Teremos: a^3 - 2ab^2 + b^3 = (a - b)(a^2 + ab - b^2).
Como ambos os fatores sao nao-negativos, teremos que:
a^3 - 2ab^2 + b^3 >= 0 ==>
a^3 + b^3 >= 2ab^2 >= 2abc, pois b >= c > 0.

****

A desiguladade do rearranjo, aplicada aos reais positivos a, b, c, implica
que:
abc + abc + abc <= a^3 + b^3 + c^3.
(isso, alias, eh a desigualdade MG <= MA aplicada a a^3, b^3, c^3).

****

Esta desigualdade foi uma questao da USAMO de 1997. A solucao estah aqui:
http://www.kalva.demon.co.uk/usa/usa97.html

Um abraco,
Claudio.

on 27.04.03 22:30, cnaval@ieg.com.br at cnaval@ieg.com.br wrote:

> Oi guilherme,
> como a expressão eh simétrica em relação à a, b e c, podemos supor sem perda
> generalidade  que a =>b=>c
> e pela desigualdade do rearranjo   abc + abc + abc <= a^3 + b^3 + abc   (na
> verdade neste ponto n tenho mta certeza,
> abc + abc + abc <= a^3 +c^3
> + abc     peço a ajuda aos mestres da lista :P)
> abc + abc + abc <= b^3 +c^3
> + abc
> invertando cada desigualdade:
> 1/(3abc) => 1/(a^3 + b^3 + abc)
> 1/(3abc) => 1/(a^3 + c^3 + abc)
> 1/(3abc) => 1/(b^3 + c^3 + abc)
> somando as três:
> 1/abc => 1/(a^3 + b^3 + abc) + 1/(a^3 + b^3 + abc) + 1/(a^3 + b^3 + abc)
> [cqd]
> 
> Bem, acho que se aquele rearranjo usado estiver certo, esta seria uma
> solução. Seria legal se mais pessoas enviassem outras..
> Abraços..
> 
> Igor Castro
> Icq: 37878785
> www.cnaval.hpg.com.br
> 
> ----- Original Message -----
> From: "guilherme S." <guilherme_s_ctba@yahoo.com.br>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Sunday, April 27, 2003 10:29 AM
> Subject: [obm-l] ajuda com desigualdade
> 
> 
>> prove que:
>> 1/(a^3+b^3+abc)+1/(a^3+c^3+abc)+1/(b^3+c^3+abc)<=1/abc
>> sendo a,b e c reais positivos
>> 

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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