Re: [obm-l] serie do Marcio

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

    Oi Claudio,
    Sua prova esta' certa, e segue da seguinte proposicao facil de provar:
se soma(n=1 a infinito)(a_n) converge a A e soma(n=1 a infinito)(b_n)
converge a B entao
a_1+a_2+...+a_k(1)+b_1+a_(k(1)+1)+a_(k(1)+2)+...+a_k(2)+b_2+...
converge a A+B, para qualquer sequencia crescente de inteiros positivos
k(n) (note que os termos de a(n) e de b(n) estao entrando na ordem original
e se somamos muitos termos da terceira serie estamos somando muitos termos
da primeira serie e muitos termos da segunda serie).
    Abracos,
             Gugu

   
>Oi, Marcio e Luis:
>
>Realmente eh um problema intrigante. Empiricamente (com uma planilha) eu me
>convenci que a soma eh 1,5*Ln(2).
>
>Alem disso, vejam esse algebrismo:
>
> Ln(2)    = 1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7-1/8+1/9-1/10+1/11-1/12+1/13-1/14+...
>
>0,5*Ln(2) =   1/2    -1/4    +1/6    -1/8    +1/10     -1/12     +1/14 - ...
>
>Somando:
>1,5*Ln(2) = 1    +1/3-1/2+1/5    +1/7-1/4+1/9     +1/11-1/6+1/3        + ...
>
>Rearranjando os termos:
>1,5*Ln(2) = (1+1/3-1/2) + (1/5+1/7-1/4) + (1/9+1/11-1/6) + ...
>
>Ou seja,
>1,5*Ln(2) = SOMA(n >= 0) [1/(4n+1) + 1/(4n+3) - 1/(2n+2)]
>
>Assim, o algebrismo funciona apesar de eu nao ter certeza do rigor, dado que
>estamos lidando com uma serie condicionalmente convergente.
>
>Pergunta: o que eu fiz pode ser justificado com rigor ou eu achei o
>resultado correto por pura sorte?
>
>Um abraco,
>Claudio.
>
>  
>on 25.04.03 11:39, Luis Lopes at llopes@ensrbr.com.br wrote:
>  
>> Sauda,c~oes,
>> 
>> Acabo de mandar uma msg boba por
>> bater no botco errado.
>> 
>> Nco sei se estou falando com o mesmo Marcio. 
>> 
>>> Quando exatamente eu posso trocar a ordem da
>>> integral com o somatorio?
>>> Por exemplo, considere a serie cujo n-o termo eh
>>> s_n = 1/(4n+1) + 1/(4n+3) - 1/(2n+2), cujos termos
>>> sco todos positivos.
>>> Ela converge, por comparagco com a sirie a/n^2.
>>> 
>>> Para calcular Somatorio (0 a infinito) s_n, eu pensei
>>> em calcular:
>>> Somatorio(0 a infinito)_Integral (0 a 1)
>>> [x^4n + x^(4n+2) - x^(2n+1)]
>>> Trocando a ordem, ficamos com algumas PG's e:
>>> Integral (0 a 1) [1/(1-x^4) + x^2 / (1-x^4) - x/(1-x^2)] =
>>> Integral (0 a 1) [1/(1+x)] = ln2
>>> 
>>> Mas eu vi que essa soma vale, na verdade, 1.5 ln2
>>> (inclusive me provaram isso, e parece estar certo)..
>>> 
>>> Por outro lado, em outros problemas esse mitodo
>>> funciona bem.. Por exemplo,
>>> para calcular Somatorio ( 1/[(3n+1)*(3n+2)*(3n+3)] )
>>> a resposta parece dar correta..
>>> 
>>> Abracos,
>>> Marcio
>> 
>> Tentei e nco consegui mostrar que da 1.5 ln2.
>> 
>> Como faz?
>> 
>> []'s
>> Lums
>> 
>>
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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