Re: [obm-l] provar desiguldade..

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 26.04.03 19:14, niski at fabio@niski.com wrote:

> Claudio, creio que sua demonstracao ficou mais clara do que a minha , pq
> eu utilizei "De fato pois o menor valor que 4x pode assumir é maior do
> que 4(1/2) = 2." Certo?
> Se sim, pq isso é falta de formalização? Será que esta passagem foi
> muito intuitiva e por isso voce a classificou como não formal!?
> obrigado
> 
Oi, Niski:

Repare que voce comecou operando com a desigualdade que queria provar e
chegou em:

|x - 1| <= 3x

Entretanto, no meio voce dividiu ambos os membros por |x - 1|, o que nao eh
valido se x = 1 (um valor pertencente ao dominio da variavel x).

Por sorte, isso nao afetou o sentido da desigualdade. Alem disso, todos os
outros passos eram reversiveis, de forma que, dado que x > 1/2:
|x - 1| <= 3x se e somente se |x + 1/x - 2| <= 3|x - 1|,
mas esse poderia nao ter sido o caso.

Assim, para tornar sua solucao 100% rigorosa, faltou explicitar que, para x
> 1/2, |x + 1/x - 2| <= 3|x - 1| eh equivalente a |x - 1| <= 3x.

A partir dai tudo OK - voce apenas separou os casos 1/2 < x < 1  e  x >= 1 e
concluiu que, em ambos, a desigualdade eh verdadeira.

Assim, a sua analise foi correta, porem incompleta e, digamos, "perigosa".

De qualquer forma, o que voce fez corresponde a uma tecnica bastante eficaz
de exploracao de um problema - resolve-lo de tras pra frente (tomando sempre
o cuidado de se verificar que cada passo eh reversivel, ou seja, da forma
"se e somente se").

Alem disso, so por uma questao de rigor, como o dominio da variavel x eh
(1/2,+infinito), ou seja, um intervalo aberto, 4x nao atinge, de fato, um
valor minimo (apesar de termos inf(4x) = 2).

Espero que tenha ficado claro.

Um abraco,
Claudio.

> Claudio Buffara wrote:
>> on 26.04.03 16:18, niski at fabio@niski.com wrote:
>> 
>> 
>>> Por favor pessoal, me ajudem nesta questão, obrigado:
>>> 
>>> Seja f(x) = x + 1/x
>>> 
>>> Prove que
>>> 
>>> |f(x) - f(1)| <= 3|x-1| , para x > 1/2
>>> 
>>> Demonstracao
>>> |x+ (1/x) - 2 | <= 3|x-1|
>>> |(x^2 -2x +1)/x| <= 3|x-1|
>>> (|x-1||x-1|)/x <= 3|x-1|
>>> |x-1|/x <= 3
>>> |x-1| <= 3x
>>> 
>>> Se 1/2 < x < 1
>>> 
>>> -x+1 < 3x
>>> 1 < 4x
>>> 
>>> De fato pois o menor valor que 4x pode assumir é maior do que 4(1/2) = 2.
>>> 
>>> Se x >= 1
>>> 
>>> |x-1| <= 3x
>>> x-1 < 3x
>>> -1 < 4x
>>> 
>>> De fato pois o menor valor que 4x pode assumir é 4.
>>> 
>>> Esta certa esta demonstração?!
>>> Obrigado.
>>> 

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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