RE: [obm-l] Desigualdade de Gram

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Definamos H como a matriz cujas colunas sao os vetores x_1,....x_n do
espaco de Hilbert. Eh uma matriz n X m, onde m eh a dimensao do espaco,
considerand0=-se os vetores expressos como combinacoes lineares de uma
base do espaco. Se G eh a matriz de Gram associada a x_1,...x_n, entao
temos que G = H'H, onde H' eh a transposta de H. Sendo y um vetor
qualquer do espaco, segue-se que y'G y = y'H'H y = (Hy)' Hy = Hy. Hy,
onde o ponto denota o produto interno. Logo y'G y>=0, sendo 0 sse y=0.
isto nos mostra que a matriz de Gram eh positiva semidefinida, e se seus
vetores forem LI entao  eh positiva definida. Neste ultimo caso, seu
determinante eh > e todos seus autovalores tambem o sao.
Um abraco
Artur 


>Subject: [obm-l] Desigualdade de Gram
>
>Colegas estou com dificuldades em demonstrar a
>desigualdade de Gram no caso geral (n qualquer natural)
>
>Os casos n = 1 e n = 2 (Cauchy-Schwarz) são triviais.
>
>O problema é o seguinte:
>
>Dados x_1,x_2, ..., x_n de um espaço de hilbert.
>
>O determinante da matriz de Gram é maior ou igual a zero.
>
>matriz de gram = G(x_1, ..., X_n) = [<x_i,x_j>] onde
>0<i,j<n+1. É uma matriz formada de produtos internos.
>
>
>P.S. Não é difícil concluir que o determinante de GRAM
>será igual a zero se e somente se x_1,...,x_n forem LD.
>Esta parte eu inclusive já fiz. Falta mostra que ele é
>sempre maior que zero se x_1,...,x_n forem LI....
>
>Grata por qualquer ajuda,
>Camila.
>
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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