[obm-l] RE: [obm-l] Essa é velha...mas, não sei!

["Artur Costa Steiner" <artur_steiner@xxxxxxx>]

> -----Original Message-----
> From: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-
> l@sucuri.mat.puc-rio.br] On Behalf Of Oblomov Insistenko
> Sent: Friday, April 25, 2003 2:01 AM
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Subject: [obm-l] Essa é velha...mas, não sei!
> 
> 
> 
> Caros colegas, deve existir a resposta em algum livro mas até agora não
> encontrei, então se algúem puder me ajudar gostaria de saber a
> demonstração
> para os seguintes fatos:
> 
> 1) O mmc de dois ou mais números naturais é o produto dos fatores primos
> comuns e não comuns, tomados com o maior expoente.
> 
> 2)O mdc de dois ou  mais números naturais é o produto dos fatores primos
> comuns tomados com o menor expoente.
> 
> Agradeço qualquer ajuda.

Bom dia,
Se a e b sao numeros naturais, entao, pelo T. Fundamental da Aritmetica, a =
Produto (p_i^m_i)  i=1,...J e b = Produto (q_i^n_i) , i=1,...K, sendo os p_i
e os q_i numeros primos e os m_i e os n_i numeros naturais. Os p_i sao
distintos 2 a dois, assim como os q_i. Consideremos a interseccao do
conjunto dos multiplos de a com os de b e seja C este conjunto. Se c
pertence a C, entao c tem necesariamente (se C nao for vazio) que possuir,
em sua fatoracao, todos os numeros primos que comparecem nas fatoracoes de a
e de b. Alem disto, se r eh um dos primos que entram na fatoracao de c,
entao o expoente de r tem necessariamente que ser >= max{m_i,n_i}. Pelo T.
Fundamental da Aritmetica, se esta condicoes nao fossem satisfeitas, entao c
nao poderia pertencer a C. Temos portanto que todo c em C eh da forma  N
*Produto (r_i^l_i) 1 , i=1,...M onde os r_i sao primos que comparecem nas
fatoracoes de a e b, l_i eh um expoente >= max{m_i,n_i} e N eh um natural em
cuja fatoracao nao hah qualquer dos primos que compoem a ou compoem b. Eh
imediato que C eh limitado inferiormente e que, desta forma possui um
elemento minimo (C e subconjunto dos naturais, o qual eh bem ordenado). Da
compposicao dos c em C, observamos que este minimo eh obtido quando N=1 e os
expoentes de cada r_i sao estabelecidos no menor valor admissivel, ou seja,
em r_i= max{m_i,n_i. Com isto, fica demonstrada o teormea para o mmc.

Para o mdc o raciocinio eh muito semelhante. Nao o coloco aqui gaora por
falta de tempo, estopu indo para o trabalho.
Umabraco
Artur

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