Re: [obm-l] Re: [obm-l] TEOIREMA DE CRISTEA::Geometria,pontosestranhos e problemas legais!!!!

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, Joao Carlos:

Aqui estah a demonstracao do Dirichlet de que se existem inteiros a, b, c
tais que a^4 + b^4 = c^2, entao a*b*c = 0.

Com a palavra, o sr. Dirichlet:


" Bem,o metodo da descida infinita ou descenso infinito pode ser descrito
assim: 

i)Suponha que exista uma soluçao em naturais;

ii)pegue uma soluçao minima em algum sentido;

iii)tente chegar em contradiçao.

Na verdade isto e o Principio da Boa Ordem para os Naturais e a relacao >.

Vou demonstrar essa joça aqui:

Se os naturais a,b,c sao tais que a^4+b^4=c^2 entao algum deles sera zero.

Suponha o contrario,que os caras sao inteiros positivos.Entao existe uma
soluçao tal que c seja o menor possivel(pelo PBO).Logo MDC(a,b) =1,e existem
inteiros positivos u,v com

a^2=u^2-v^2,b^2=2uv,c=u^2+v^2

(essa e a soluçao da equaçao diofantina de Pitagoras
X^2+Y^2=Z^2).Reaplicando,vemos que existem inteiros positivos p,q com

MDC(p,q)=1 e a=p^2-q^2,v=2pq,c=u^2+v^2.

Com isso b^2=2uv=4pq(p^2+q^2).Logo como p e q sao primos entre si p,q e
p^2+q^2 sao todos quadrados perfeitos.Logo existem A,B e C inteiros
positivos tais que 

p=A^2,q=B^2,p^2+q^2=C^2.

Mas com isso A^4+B^4=C^2 e c=u^2+v^2>u=p^2+q^2=C^2>C e ai temos duas
contradiçoes: 

1)c>C pois coisas grandes sao maiores que coisas pequenas:) ;)

2)c<=C por hipotese de minimalidade.

E fim! " 

*****

Um abraco,
Claudio.


on 24.04.03 17:44, JoaoCarlos_Junior@net.ms.gov.br at
JoaoCarlos_Junior@net.ms.gov.br wrote:

> 
> Querido Cláudio,
> 
> Gostaria de dar uma olhada na resolução do Dirichlet para Fermat com
> n=4, se você assim a elogia. Desta forma, pergunto-te como faço para
> olhá-la, em que site?
> 
> Um forte abraço, João Carlos.
> 
> 

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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