Re: [obm-l] FW: Problema dificil

["Marcio" <marciocohen@xxxxxxxxxxxxxx>]

Oi Claudio. Acho que o que eu fiz esta certo.. De uma conferida.
    Chame os termos da sua sequencia de b1,b2,...,b100, com b1 <= b2 <= b3
<= b4 <=... <= b100
(note que essa reordenacao mantem a propriedade mencionada no enunciado).
    Para facilitar a notacao, voce pode ainda diminuir b1 de todo mundo e
criar uma nova sequencia c1, c2, ..., c100 que ainda satisfaz a propriedade
(tanto a media de 8 como a de 9 termos apenas foram diminuidas de b1, e
portanto as relacoes de igualdade se mantem). Note que c1 =
0<c2<c3<...<c100.

    Agora considere a media m = (c1+c2+...+c8)/8.
Veja que, devido a ordenacao que fizemos, a menor media de 9 numeros que
pode existir eh M = (c1+c2+..+c8+c9)/9 = (8m+c9)/9
Em particular, essa menor media nao pode ser maior que m (pq se ela for,
todas as outras tmb serao!).
Logo, (8m+c9)/9 <= m donde m >= c9.
Por outro lado, m <= (c9+c9+...+c9)/8 = c9 , pois c1 <=c9, c2 <= c9, etc..
Logo, deve ocorrer a igualdade acima, e portanto 0=c1=c2=...=c9

Agora voce usa um raciocinio semelhante.. Suponha por absurdo que c10 > 0
    Considere a media m = c10 / 8 (pegando com outros 7 zeros dentre
c1,c2,...,c9).
A menor media de 9 termos nao nula eh M = c10/9, que nao serve pois  c10 eh
nao nulo.
A segunda menor eh M' = (c10+c11)/9 > 2(c10) / 9 > (c10)/8. Contradicao.
Logo, c10 = 0.

De forma analoga, voce conclui que c11=c12=...=c100=0. Logo, a sequencia
original era constante.

Marcio

----- Original Message -----
From: "Claudio Buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
To: "Lista OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Wednesday, April 23, 2003 10:29 AM
Subject: [obm-l] FW: Problema dificil


>
> Caros colegas da lista:
>
> Aqui vai um problema que eu levei algumas semanas pra resolver e, mesmo
> assim, somente depois que me deram uma dica:
>
> Uma sequencia de 100 numeros reais tem a seguinte propriedade:
> Para cada subsequencia de 8 termos, existe uma subsequencia de 9 termos
que
> tem a mesma media aritmetica que a de 8 termos.
> Prove que a sequencia eh constante.
>
> Daqui a alguns dias eu dou a dica.
>
> Tenho muito interesse em ver alguma solucao diferente da minha (e de
> preferencia mais simples).
>
> Um abraco,
> Claudio.


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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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