[obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas ao redor do mundo...

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Tue, Apr 22, 2003 at 10:06:16PM -0400, Korshinoi@aol.com wrote:
> Problema: Um polinômio quadrático de coeficientes inteiros e coeficiente do 
> segundo grau igual a 1 assume valores primos em três valores inteiros e 
> consecutivos. Mostre que ele assume um valor primo em pelo menos mais um 
> valor inteiro.

O problema é um pouco enganador, parece que está perguntando algo difícil mas...

O polinômio é da forma P(x) = x^2 + bx + c. Vamos dividir em casos:

b ímpar:

A identidade P(-b-x) = P(x) garante que cada valor de P(n)
aparece exatamente duas vezes. Se temos três valores inteiros de n
para os quais P(n) é primo tem que existir um quarto.

b par:

Transladando em x podemos supor que os três valores primos são
P(-1), P(0), P(1). Observe que
P(x+1) - P(x) = 2x + 1 + b,
(P(x+2) - P(x+1)) - (P(x+1) - P(x)) = 2.
P(n) alterna entre valores pares e ímpares. A única forma de termos 3 primos
consecutivos é portanto, usando as observações acima,

P(-1) = 3, P(0) = 2, P(1) = 3

Neste caso P(x) = x^2 + 2 e P(3) = 11.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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