Re: [obm-l] congruencia

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 22.04.03 21:13, Rafael at matduvidas@yahoo.com.br wrote:

> Olá pessoal!
> 
> Acho que essa sai por congruências mas ainda não
> consegui:
> O número de valores inteiros de n para os quais a
> fração (15n + 2)/(14n + 3) pode ser simplificada é:
> 
> resposta: 118
> 
> Se alguém puder me dar uma luz...
> 
> Abraços,
> 
> Rafael.
> 
Oi, Rafael:

Repare que:
-14*(15n+2) + 15*(14n+3) = 17 (independente de n).

Logo, pelo teorema de Bezout, mdc(15n+2,14n+3) so pode ser 1 ou 17.

Se a fracao pode ser simplificada, entao o mdc deve ser igual a 17.

Isso implica que:
15n + 2 == 0 (mod 17)
e
14n + 3 == 0 (mod 17)

Ou seja:
n == 1  (mod 17)

Em outras palavras:
Se n = 17k + 1, para algum inteiro k, entao, a fracao serah:
(15n+2)/(14n+3) = [15(17k+1)+2]/[14(17k+1)+3] =
= [17*(15k+1)]/[17*(14k+1)], a qual pode ser simplificada (para todo k) e
resultara na fracao irredutivel (15k+1)/(14k+1).

Em suma, ha infinitos valores inteiros de n para os quais a fracao pode ser
simplificada (a saber, aqueles da forma 17k + 1, com k inteiro).

Um abraco,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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