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Re: [obm-l] Problema proposto 74 eureka 15...
Caros Gugu, Shine e Artur:
Estou plenamente convencido.
O mais interessante é que eu achei a mesma solução sob a hipótese restritiva
de que f é diferenciável, e que o efeito relevante de se diferenciar f é
justamente o de se deslocar a variável independente de Pi/2, artifício que o
Shine e o Gugu usaram na solução deles:
D(sen(x)) = cos(x) = sen(x + Pi/2)
D(cos(x)) = - sen(x) = cos(x + Pi/2)
Ou seja, ao invés de diferenciar f, bastava avaliá-la em x + Pi/2.
Naturalmente, fica óbvio depois que alguém mostra o caminho.
Obrigado e um abraço,
Claudio.
----- Original Message -----
From: "Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira" <gugu@impa.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Tuesday, April 22, 2003 1:54 PM
Subject: Re: [obm-l] Problema proposto 74 eureka 15...
> Em e-mails recentes (de 20/4) o Shine e eu provamos sem hipoteses
> adicionais que f(x)=f(0)cos(x)+f(pi/2)sen(x) para todo x. Assim, f pode
ser
> qualquer combinacao linear de sen(x) e cos(x).
> Abracos,
> Gugu
>
> >
> >Nao consegui muita coisa alem disso mas acho que esse cosseno nao e o
mais importante poisc a diferencialidade se estende a varias funçoes...
> > Artur Costa Steiner <artur_steiner@usa.net> wrote:Este problema jah
circulou na lista. O Claudio chegou a uma soluçao
> >interessante assumindo diferenciabilidae de f. As sua solucoes, que naum
> >sao as unicas, sao um caso particular da funcao que o Claudio achou.
> >Uma outra hipotese trivial e a funcao identicamente nula em R (acho que
> >tambem estah englobada na solucao do Claudio)
> >Eu acho que sem assumir alguma condicao como diferenciabilidade fica
> >muito dificil garantir que se encontraram todas as funcoes.
> >Artur
> >
> >>-----Original Message-----
> >>From: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
> >[mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-
> >>rio.br] On Behalf Of rmr-olimp
> >>Sent: Saturday, April 19, 2003 7:21 PM
> >>To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >>Subject: [obm-l] Problema proposto 74 eureka 15...
> >>
> >>Problema proposto 74 eureka 15...
> >>
> >>Ache todas as funçoes f: R -> R tais que:
> >>f(x+y)+f(x-y)=2.f(x).cos(y)
> >>
> >>fazendo:
> >>x+y=a
> >>x-y=b
> >>
> >>Substituindo:
> >>f(a)+f(b)=2.f((a+b)/2).cos((a-b)/2)
> >>
> >>Da trigonometria:
> >>sen(a)+sen(b)=2.sen((a+b)/2).cos((a-b)/2)
> >>cos(a)+sen(b)=2.cos((a+b)/2).cos((a-b)/2)
> >>
> >>Logo f(x)=sen(x) ou f(x)=cos(x)
> >>
> >>O que eu não sei provar é se essas são as únicas soluções
> >>e caso existam encontrá-las..
> >>
> >>Se alguém puder quebrar um galho e me ajudar seria ótimo!!
> >>
> >>Rodrigo
> >>
> >>
> >>
> >>_______________________________________________________________________
> >___
> >>Seleção de Softwares UOL.
> >>10 softwares escolhidos pelo UOL para você e sua família.
> >>http://www.uol.com.br/selecao
> >>
> >>
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> >==
> >>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >>O administrador desta lista é
> >>=======================================================================
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> >
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> >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >O administrador desta lista é
> >=========================================================================
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> >Yahoo! Mail
> >O melhor e-mail gratuito da internet: 6MB de espaço, antivírus, acesso
POP3, filtro contra spam.
> >--0-2026124008-1051028844=:23457
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> >Content-Transfer-Encoding: 8bit
> >
> ><DIV>
> ><P>Nao consegui muita coisa alem disso mas acho que esse cosseno nao e o
mais importante poisc a diferencialidade se estende a varias funçoes...
> ><P> <B><I>Artur Costa Steiner <artur_steiner@usa.net></I></B>
wrote:
> ><BLOCKQUOTE style="PADDING-LEFT: 5px; MARGIN-LEFT: 5px; BORDER-LEFT:
#1010ff 2px solid">Este problema jah circulou na lista. O Claudio chegou a
uma soluçao<BR>interessante assumindo diferenciabilidae de f. As sua
solucoes, que naum<BR>sao as unicas, sao um caso particular da funcao que o
Claudio achou. <BR>Uma outra hipotese trivial e a funcao identicamente nula
em R (acho que<BR>tambem estah englobada na solucao do Claudio)<BR>Eu acho
que sem assumir alguma condicao como diferenciabilidade fica<BR>muito
dificil garantir que se encontraram todas as
funcoes.<BR>Artur<BR><BR>>-----Original Message-----<BR>>From:
owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br<BR>[mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-<BR>
>rio.br] On Behalf Of rmr-olimp<BR>>Sent: Saturday, April 19, 2003
7:21 PM<BR>>To: obm-l@mat.puc-rio.br<BR>>Subject: [obm-l] Problema
proposto 74 eureka 15...<BR>><BR>>Problema proposto 74 eureka
15...<BR>><BR>>Ache todas as funçoes f: R -> R tais que:<BR>>f!
> (x+!
>
>y)+f(x-y)=2.f(x).cos(y)<BR>><BR>>fazendo:<BR>>x+y=a<BR>>x-y=b<B
R>><BR>>Substituindo:<BR>>f(a)+f(b)=2.f((a+b)/2).cos((a-b)/2)<BR>&g
t;<BR>>Da
trigonometria:<BR>>sen(a)+sen(b)=2.sen((a+b)/2).cos((a-b)/2)<BR>>cos(a
)+sen(b)=2.cos((a+b)/2).cos((a-b)/2)<BR>><BR>>Logo f(x)=sen(x) ou
f(x)=cos(x)<BR>><BR>>O que eu não sei provar é se essas são as únicas
soluções<BR>>e caso existam encontrá-las..<BR>><BR>>Se alguém puder
quebrar um galho e me ajudar seria
ótimo!!<BR>><BR>>Rodrigo<BR>><BR>><BR>><BR>>______________
_________________________________________________________<BR>___<BR>>Sele
ção de Softwares UOL.<BR>>10 softwares escolhidos pelo UOL para você e
sua
família.<BR>>http://www.uol.com.br/selecao<BR>><BR>><BR>>=======
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t;Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
em<BR>>http://www.mat.puc-rio.br/~nicol!
> au/!
> >olimp/obm-l.html<BR>>O administrador desta lista é
<NICOLAU@MAT.PUC-RIO.BR><BR>>============================================
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======================================<BR>Instruções para entrar na lista,
sair da lista e usar a lista
em<BR>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html<BR>O administrador
desta lista é
<NICOLAU@MAT.PUC-RIO.BR><BR>================================================
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href="http://br.mail.yahoo.com/">Yahoo! Mail </a></b><br>
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> >Instrugues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >O administrador desta lista i <nicolau@mat.puc-rio.br>
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> O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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