Re: [obm-l] 4 coisinhas

["A. C. Morgado" <morgado@xxxxxxxxxxxxxxx>]

Title:

Um processo eficiente e menos conhecido do que deveria para calcular essas
somas polinomiais eh escrever o polinomio em potencias fatoriais e nao em
potencias ordinarias:
Potencia ordinaria: x^3 = x*x*x
Potencia fatorial : (x)^3 = x*(x-1)*(x-2)  na realidade a notaçao usual eh
(x) com indice 3, que se le x baixado a 3.
Uma conta boba transforma x^3 = x(x-1)(x-2) + 3x(x-1) + x  [x^3 = ax(x-1)(x-2)
+ bx(x-1) + cx + d, obriga os polinomios a serem identicos e pronto]
Portanto, S = somatorio de x(x-1)(x-2) + 3x(x-1) + x = (x)^3 + 3 (x)^2 +
(x)^1, x variando de 1 a n (aqui as potencias sao fatoriais)
Eh (muito) facil provar que se F(x) eh uma antidiferença de f(x) (ou seja,
se f(x) eh uma diferença de F(x) ) (ou seja, se
 F(x+1) - F(x) = f(x) ), somatorio de 1 a n de f(x) eh igual a F(n+1) - F(1).
Realmente, f(1) + f(2) +...+f(n) = F(2) - F(1) + F(3) - F(2) + ...+ F(n+1)
- F(n) = F(n+1) - F(1). Isso eh conhecido como teorema fundamental da somaçao
e eh analogo ao teorema fundamental do calculo integral.
Agora, para potencias fatoriais eh facil provar que diferença
de (x)^n = n*(x)^(n-1) e antidiferença de (x)^n = [(x)^(n+1)]/(n+1) + constante
(note a analogia com derivada e integral)
Portanto, S = somatorio de (x)^3 + 3 (x)^2 + (x)^1, (x variando de 1 a n)
 = F(n+1) - F(1) sendo 
F(x) = (x)^4 /4 + (x)^3 + (x)^2 /2 = x(x-1)(x-2)(x-3)/4 + x(x-1)(x-2) + x(x-1)/2.
Calculando F(n+1) - F(1) obtem-se  [n^2] * [(n+1)^2] /4


Helder Suzuki wrote:
> 4)
> Calcular S = 1 + 8 + 27 + ... + n^3
>
> Abraços,
> Helder Toshiro Suzuki