RE: [obm-l] Problema proposto 74 eureka 15...

[Carlos Yuzo Shine <cyshine@xxxxxxxxx>]

Oi pessoal da lista,

Acho que consegui fazer esse problema...

> >Ache todas as funçoes f: R -> R tais que:
f(x+y)+f(x-y)=2.f(x).cos(y)

Faça x = 0:
f(y) + f(-y) = 2f(0)cos(y)

Troque x e y de lugar:
f(x+y)+f(y-x)=2f(y)cos(x)

Some a original com a última:
2f(x+y) + f(x-y) + f(y-x) = 2f(x)cos(y) + 2f(y)cos(x)

Mas f(x-y) + f(y-x) = 2f(0)cos(y), logo
f(x+y) + f(0)cos(y) = f(x)cos(y) + f(y)cos(x)

Faça y=0:
f(x) + f(0) = f(x) + f(0)cos(x) => f(0) = 0

Agora temos
f(x+y) = f(x)cos(y) + f(y)cos(x)

Faça y = pi/2:
f(x+pi/2) = f(pi/2)cos(x)

Logo
f(x) = f(pi/2)sen(x), ou seja, f(x) = A.sen(x), sendo
A um real qualquer. Pode-se verificar que todas essas
servem.

[]'s
Shine

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