[obm-l] Geo Plana

[luizhenriquerick@xxxxxxxxxxxxxx]

Seja ABCD um quadrilátero convexo tal que suas diagonais AC e BD são perpendiculares.
Seja P a interseção de AC e BD e seja M o ponto médio de AB. Mostre que
o quadrilátero ABCD é inscritível se, e somente se, as retas PM e CD são
perpendiculares.


Temos de provar que #ABCD é cíclico <=>  PM perpendicular a DC.

1° parte :
#ABCD é cíclico =>  PM perpendicular a DC

Hipótese : #ABCD é cíclico
Tese : PM perpendicular a DC

** Lema :
- Seja um triângulo ABC de diâmetro BC  e centro = M .
- Se o ponto A ( genérico ) esta entre o arco BC , então o ângulo ABC =
90
- Como BC é diâmetro , traçamos AM , que é a mediana de BC e vale BC/2 .
- Observamos que em qualquer triângulo retângulo , a medida do lado oposto
ao ângulo de 90° sempre será metade desse mesmo lado .


( Olhando na figura anexa )

- Seja o # ABCD inscrito em uma circunferência de centro O .
- Fazendo os ângulos :
BAC = a , ABD = b , BDC = g e ACD = f .
- Como M é médio de AB e o ângulo APB = 90° , temos pelo lema que MP = AM
= MB .
- Assim os ângulos APM = a e BPM = b .
- Como ângulos opostos pelo vértice são iguais , então :
DPM1 = BPM = b
CPM1 = APM = a
- Sendo os ângulos MM1C = k e MM1D = k2.
- Como a e g (falam) para um mesmo arco , então são iguais .O mesmo ocorre
com os ângulos b e f .
- No triângulo ABP  :

a + b + 90 = 180  =>  a + b = 90 ( i )

- Nos triângulos PM1D e PM1C , temos :
b + g + k2 = 180     e      a + f + k = 180

                            ou

( b + a ) + k2 = 180 ( ii )  e ( a + b) + k = 180 ( iii )

De ( i ) em ( ii ) e ( iii ) , vem :

90 + k2 = 180    e   90 + k = 180

k2 = 90     e      k = 90



Agora , como faço para provar a 2° parte do problema ?

PM perpendicular a DC  =>  #ABCD é cíclico .


Qualquer ajuda será bem vinda .

Abraços .

Luiz H. Barbosa .





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