[obm-l] funcão exponencial - alguns pontos interessantes

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxx>]

Neste dias a Renatinha motivou discissões sobre a função exponencial. Eu
coloquei uma mensagem sobre uma definição alternativa para tal função,
tomando por base um exercício que consta no livro do Bartle e que eu procurei
resolver. Vou agora citar uns pontos interesante, com base na definição que
o Nicolau apresentou. Seja então f uma função não identicamente nula tal
que f(x+y) = f(x) f(y) para toda x e y em R. Vamos tirar algumas conclusões:

1) f é estritamente positiva --- inicialamente, mostraremos que f nunca se
anula. Se f(w) =0 para algum w, então, para todo x em R, temos que f(x) = f(w
+ x - w) = f(w) f(x-w) = 0 f(x-w) =0, o que contraria a hipótese de que f
não é identicamente nula. Logo, f nunca se anula em R. Para todo real x,
temos então que f(x) = f(x/2+x/2) = f(x/2)f(x/2) = [f(x/2)]^2>0, conforme
desejado.

2) f(0)= 1. Fixemos um real x. Temos que f(x) = f(x+0) = f(x) f(0). Como f(x)
<>0, segue-se que f(0) =1.

3) f(-x) = f(x). Basta ver que f(-x+x) = f(-x) f(x) = f(0) =1. Com f não se
anula, a conclusão é imediata

4) Para todo inteiro m, f(m) = a^m, sendo a = f(1). Se m é natural, basta
aplicar indução finita observando que f(1) = a e que f(m+1) = (m+1) f(m). Se
m=0, f(0) = 1 = a^0 e, utilizando (3), estendemos facilmente a conclusão para
todo inteiro m.   

5) Para todo real x e todo inteiro m, f(mx) = f(x)^m. Demonstração análoga
a (4)

6) Para todo real r, f(r) = a^r. Temos que r =m/n. m e n inteiros. Logo f(r) =
f(m . 1/n)=  f(1/n)^m.  Mas f(n . 1/n) = f(1/n)^n  = f(1) = a , do que
deduzimos que f(1/n)= a^(1/n). E temos portanto que f(r) = [a^(1/n)] ^m =
a^(m/n) = a^r. Disto deduzimos que f é idêntica, em Q, à função
exponencial usualmente definida para tal conjunto. A generalização para
irracionais já não é asim  tão "linear" , há uma quebra no processo. Mas
há ainda un spontos interessantes.

7) Se f for contínua em algum real w , f é contínua em todo R. Como w é
ponto de acumulação de R, seguese que lim h --> 0 f(w+h) = f(w). Mas f(w+h)
= f(w) f(h). Da existência de lim h --> 0 f(w+h), seguese então que f(w) lim
h --> 0 f(h) = f(w) e , como f(w)<>). vem lim h --> 0 f(h)= 1 = f(0),
acarretando continuidade em zero. Para todo real x, temos agora que f(x+h) =
f(x) f(h). Como lim h --> 0 f(h)= 1, seguese imediatamente que lim h-->0
f(x+h) = f(x).1 = f(x), implicando continuiddae em todo o R.

8) Se f for diferenciável em algum real w, então f é dierenciável em todo
R. Por definição f'(w) = lim h-->0 {f(+h) - f(w)]/h = lim h -->0 f(w)[f(h)
-1]/h. Da existência (hipõtese) de f'(w), temos que a expressão entre  []
apresenta limite em zero e que lim h -->0 )[f(h) -1]/h] = f'(0) (pois f(0) =1)
= f'(w)/f(w). Logo, f é diferenciável em zero. Para todo x em R, temos agora
que [f(x+h) - f(x)]/h, h<>0, = f(x) [f(h) -1]/h]. Da conclusão anterior,
segue-se então que lim h-->0 [f(x+h) - f(x)]/h existe e iguala-se a f(x)
f'(0). Logo , f é diferenciável em todo o R.

Pontos a ponderar: Se assumirmos que existe tal f e f é contínua em um
único ponto de R, então f é necessariamente a função exponencial dad pela
conhecida série de potências. 

Um abraço a todos
Artur 

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