Re: [obm-l] O problema do andarilho

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 02.04.03 16:49, Henrique Patrício Sant'Anna Branco at
hpsbranco@superig.com.br wrote:

> Alguem poderia me ajudar com esse?
> 
> 
> Uma trilha vai da base de uma montanha até o topo. Um andarilho começa a
> subir a trilha às 6 horas da manhã e chega ao topo às 6 horas da tarde do
> mesmo dia. Durante o percurso ele pode parar, voltar atrás, correr, fazer o
> que quiser desde que chegue ao topo às 6 horas da tarde do mesmo dia.
> Na manhã seguinte ele começa a descer a trilha às 6 horas da manhã do modo
> como ele quiser e chega à base exatamente às 6 horas da tarde do mesmo dia.
> Prove que existe pelo menos um lugar na trilha pelo qual ele passa na mesma
> hora de cada dia.
> 
> Grato,
> 
> Henrique.
> 
Oi, Henrique:

Essa eh uma aplicacao do Teorema do Valor Intermediario.

Associe um numero real x a cada ponto do trajeto, de forma que x = distancia
do ponto ate a base da montanha. Voce pode normalizar os valores de x,
fazendo:
base da montanha: x = 0;
topo da montanha: x = 1.

Defina duas funcoes, F e G, de [6,18] em [0,1], por:

F(t) = ponto do trajeto que o andarilho ocupava no instante t durante a
subida;

G(t) = ponto do trajeto que o andarilho ocupava no instante t durante a
descida;

F e G sao continuas, pois a velocidade do andarilho eh finita.

Agora, aplique o TVI a funcao H: [6,18] -> [0,1] dada por:
H(t) = G(t) - H(t)
Como H(6) = 1 e H(18) = -1, deve haver algum t_0 em [6,18] tal que H(t_0) =
0 ==>
F(t_0) = G(t_0) ==>
Em t = t_0 o andarilho estava no mesmo ponto do trajeto tanto na subida
quanto na descida.

Um abraco,
Claudio.

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
=========================================================================