[obm-l] Rearranjo generalizado

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, Marcio:

Sobre esse seu problema:

Sejam varias seqs de termos positivos (a), (b), (c), ...e considere as somas
do tipo S = a_1*b_1*c_1*... +a_2*b_2*c_2* ... + ... a_n*b_n*c_n*... onde
(a_i) eh uma permutacao da 1a sequencia, (b_i) uma permutacao da 2a, e assim
por diante.
    Mostre que S é máxima quando as sequencias tem a mesma ordenacao.
    O caso com 2 sequencias eh o que se conhece como "desigualdade do
rearranjo"

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    Note que esse teorema eh bem interessante. Por exemplo, ele implica MA
>= MG em particular...
Basta analisar as sequencias:
(a1,a2,a3,...,an)   =>  (a1,a2,a3,...,an)
(a1,a2,a3,...,an)   =>  (a2, a3, ...,an, a1)
(a1,a2,a3,...,an)   =>  (a3, a4, ... , a1, a2)
...
(a1,a2,a3,...,an)   =>  (an, a1, a2, ...  ,   )
 
Como as n sequencias do lado esquerdo tem mesma ordenacao, tem-se a1^n + ...
+ an^n >= n*a1*a2*...*an ..

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Eu pensei em usar inducao sobre o numero M de sequencias (M >= 2):
 
O caso base (M = 2) eh, como voce disse, a desigualdade do rearranjo.

Supondo que o resultado seja verdadeiro para quaisquer M-1 sequencias (M >=
3) de termos positivos, consideremos as M sequencias (A_i), (B_i), (C_i),
..., (Z_i) (achei melhor usar esta notacao do que dois indices) de termos
positivos e as somas correspondentes do tipo:
S = A_1*B_1*...*Z_1 + ... + A_n*B_n*...*Z_n

Inicialmente, aplicamos a hipotese de inducao as M-1 sequencias (A_i*B_i),
(C_i), ..., (Z_i) e concluimos que S eh maxima quando todas estas as
sequencias tem a mesma ordenacao, digamos:
0 < A_1*B_1 <= ... <= A_n*B_n,
0 < C_1 <= ... <= C_n,
...
0 < Z_1 <= ... <= Z_n.

Agora, aplicamos a h.i. as M-1 sequencias (A_i), (B_i*C_i), ..., (Z_i) e
concluimos que S eh maxima quando:
0 < A_1 <= ... <= A_n,
0 < B_1*C_1 <= ... <= B_n*C_n,
...
0 < Z_1 <= ... <= Z_n.

Finalmente, aplicamos a h.i. as M-1 sequencias (A_i*C_i), (B_i), ..., (Z_i)
e concluimos que S eh maxima quando:
0 < A-1*C_1 <= ... <= A_n*C_n,
0 < B_1 <= ... <= B_n,
...
0 < Z_1 <= ... <= Z_n.

Naturalmente, o valor maximo de S serah o mesmo em cada um dos tres casos
acima.

Estas tres aplicacoes da h.i. implicam que S eh maxima quando:
0 < A_1 <= ... <= A_n,
0 < B_1 <= ... <= B_n,
0 < C_1 <= ... <= C_n,
...
0 < Z_1 <= ... <= Z_n,
ou seja, quando as M sequencias tiverem a a mesma ordenacao.

Voce ve algum furo neste raciocinio?

Um abraco,
Claudio. 


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