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Caros colegas da lista:
Aqui vai mais uma compilação de problemas que foram propostos mas cujas
soluções nunca foram publicadas na lista.
1) Prove, usando geometria e trigonometria básica (por exemplo, via o
teorema de Ptolomeu), mas sem usar álgebra (o Nicolau já apresentou uma solução
usando nos. complexos) ou identidades trigonométricas "mandrakes" (como as
que o Luís Lopes mencionou) que:
tan(3*Pi/11) + 4*sin(2*Pi/11) = sqrt(11) *****
2)Determine todos os primos da forma 101010.....101.
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3)Determine todos os inteiros positivos que podem ser representados de maneira única sob a forma ( x^2+y)/(xy+1). *****
4) Seja f:N---->R uma função tal que f(1)=3
e
f(m+n)+f(m-n)-m+n-1=(f(2m)+f(2n))/2 para todos os inteiros não negativos m e n com m>=n. Determine a expressão de f(m).
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5) Alguns de topologia geral:
Definamos x como ponto de condensação de um subconjunto E de R^n
se
qualquer vizinhança V de x contiver um número incontável de elementos de E (isto é, se V inter E não for numerável). Seja P o conjunto dos pontos de condensação de E. Mostre que 5.1) E é numerável se, e somente se, P for vazio ( o que acarreta automaticamente que E não é numerável sse P não for vazio) 5.2) O conjunto dos elementos de E que não são pontos de condensação do mesmo (E inter complementar de P) é numerável 5.3) P é perfeito (é fechado e todos seus elementos são pontos de acumulação do mesmo). Na realidade, todo elemento de P é ponto de condensação do mesmo . 5.4)Todo elemento de P é ponto de condensação de E inter P 5.5) O fecho de E inter P é o próprio P 5.6) Todo conjunto fechado é dado pela união disjunta de um conjunto perfeito com um conjunto numerável (podendo ser que um destes conjuntos seja vazio) Este é o Teorema de Cantor-Bendixon Estas 5 afirmações valem, na realidade, em qualquer espaço métrico separável Para demonstrarmos as afirmações, observemos que todo conjunto aberto de R^n pode ser dado por uma união numerável de bolas abertas. A coleção das bolas abertas de centro em elementos com coordenadas racionais e raios racionais é uma base numerável de R^n. ***** 6) a e b são inteiros com mdc(a,b) = 1.
Prove que se existe um inteiro m tal que am + b é primo, então existe uma
infinidade de inteiros n para os quais an + b é primo.
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7) A notória 2a. Vingança Olímpica:
7.1)(Yuri Gomes)Seja ABC um triangulo e k sua circunferencia
circunscrita. D e o ponto medio do arco BC que nao contem A; E e a intersecçao da mediatriz de BD com BC,F e a intersecçao da paralela a AB por D com AC,G e a intersecçao de EF com AB e H a de GD com AC.Mostre que o triangulo AGH e isosceles.[3] 7.2)(Alex Abreu)Defina a sequencia x(1) natural e x(n+1)=1+(x(1)x(2)x(3)...x(n)). Prove que existe um primo p que nao divide ninguem da sequencia acima.[4] 7.3)(Yuri Gomes)Seja ABC um triangulo com BAC=60º.Seja A' o simetrico de A em relaçao a BC,D o ponto do segmento AC tal que AB=AD e H o ortocentro de ABC.Se b e a bissetriz externa do angulo BAC e M e N sao os pontos onde as retas A'D e CH cortam b respectivamente,mostre que AM=AN.[4] 7.4)(Telmo Luis)Definimos uma represa e sua barreira como um par de conjuntos finitos A e B de pontos do reticulado,sendo A conexo pela relaçao de vizinhança dada por |a-b|=1 tais que dado um elemento a de A,para qualquer x do reticulado com |a-x|=1 temos que x e um elemento de A ou de B.Dado #B=K ache o maior valor que #A pode assumir.[5] 7.5)(Guilherme Issao)Existem p²,onde p e primo,crianças dispostas num bairro como um tabuleiro p por p.Ha tambem duas distribuidoras de doces,a Cledmilson Marmotta e a Estrogonofre's.A Cledmilson Marmotta manda um vendedor para cada uma das p linhas horizontais,sendo que o vendedor da i-esima linha tem i Kg de doce de jilo e distribui igualmente entre as p crianças.Da mesma forma Estrogonofre's manda um vendedor para cada uma das p linhas verticais,sendo que o vendedor da j-esima linha tem j Kg de doce de jaca e distribui igualmente entre as p crianças.De quantas maneiras podemos escolher um grupo de crianças desse bairro para roubar-lhes os doces de modo que a quantidade de cada tipo de doce roubada seja inteira?[6] 7.6)(Alex Abreu)Ache todas as funçoes f:R/{0}->R sem pontos fixos tais que f(y(f(x)-x))=f(x)/y-f(y)/x para todos os x,y nao-nulos.[6] 7.7)(Humberto Naves)Seja X um subconjunto de R com m elementos positivos.Determine X tal que maximize o numero de subconjuntos de X de mesma soma.[8] *****
Um abraço,
Claudio.
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