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Caros colegas da lista:
Gostaria de receber ajuda sobre os seguintes problemas,
nos quais eu fiz algum progresso mas não consegui concluir.
PROBLEMA 1:
(problema no. 74 da Eureka no. 15)
"Ache todas as funções f: R --> R (R: conjunto dos
reais) tais que:
f(x+y) + f(x-y) = 2f(x)cos(y) para todos x, y em
R."
. Eu cheguei a uma solução (descrita abaixo) sob a hipótese
de que f é diferenciável em toda a reta.
O meu problema agora é:
1. Achar todas as funções que não sejam diferenciáveis em
toda a reta mas que satisfaçam a relação do problema,
OU
2. Provar que qualquer função que satisfaz a relação é
diferenciável em toda a reta.
Eu suspeito que a segunda alternativa é verdadeira, mas
não consegui provar. ************
PROBLEMA 2:
(problema no. 5 da 2a. Vingança Olímpica)
5)(Guilherme Issao)Existem p²,onde p e primo,crianças
dispostas num bairro
como um tabuleiro p por p.Ha tambem duas distribuidoras de doces,a Cledmilson Marmotta e a Estrogonofre's.A Cledmilson Marmotta manda um vendedor para cada uma das p linhas horizontais,sendo que o vendedor da i-esima linha tem i Kg de doce de jilo e distribui igualmente entre as p crianças. Da mesma forma Estrogonofre's manda um vendedor para cada uma das p linhas verticais,sendo que o vendedor da j-esima linha tem j Kg de doce de jaca e distribui igualmente entre as p crianças. De quantas maneiras podemos escolher um grupo de crianças desse bairro para roubar-lhes os doces de modo que a quantidade de cada tipo de doce roubada seja inteira?[6] O problema pode ser refraseado como:
Determinar o número de subconjuntos de {1, 2, ..., p}x{1, 2, ...,p} cuja soma dos elementos (definida da forma usual: (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) ) seja um par ordenado da forma (mp,np) onde m e n são inteiros. Eu cheguei a determinar o número de subconjuntos de
{1,2,...,p} cuja soma dos elementos é = 0 (mod p).
Este número é (2^p - 2)/p + 2 (incluindo o
subconjunto vazio, cuja soma é 0).
No entanto, enumerar conjuntos de pares ordenados está
sendo bem mais complicado...
O Nicolau deu a seguinte dica: para cada N, o número
de subconjuntos de N elementos do produto cartesiano é aproximadamente
constante, logo, a resposta deve ser aproximadamente igual a (2^(p^2) -
2)/(p^2)
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PROBLEMA 3:
[Irã-1999] - Existe um inteiro positivo que é uma
potência de 2, tal que
nós podemos obter outra potência de 2 pelo rearranjo de seus dígitos? Nesse eu fiz o seguinte:
Suponhamos que a resposta seja sim e que existam inteiros
positivos m e n,
com m < n tais que 2^m e 2^n têm os mesmos dígitos. Então, pelo critério de divisibilidade por 9, teremos: 2^n = 2^m (mod 9) ==> 2^(n-m) = 1 (mod 9) ==> n - m é múltiplo de 6 = ordem de 2 mod 9 ==> n >= m + 6 ==> 2^n >= 64*2^m ==> 2^n tem mais dígitos do que 2^m Mas, por hipótese, 2^m e 2^n têm os mesmos dígitos (em ordens diferentes) ==> 2^n e 2^m têm o mesmo número de dígitos ==> contradição ==> a resposta é não No entanto, essa solução não é válida se a representação decimal de 2^n tiver zeros "internos" em sua representação decimal estes zeros poderão ser movidos para a esquerda na representação de 2^m. Por exemplo, podemos ter: 2^n = (ab00c0def) e 2^m = (000afecbd) Nesse caso, 2^n e 2^m têm os mesmos dígitos apesar de 2^n > 64*2^m ==> a solução acima não é válida
Um abraço,
Claudio.
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Solução do Problema 1 supondo que f é diferenciável em
toda a reta:
Derivando em relação a x: f'(x+y) + f'(x-y) =
2f'(x)cos(y)
Derivando em relação a y: f'(x+y) - f'(x-y) =
-2f(x)sen(y)
Assim, resolvendo para f'(x+y) e f'(x-y):
f'(x+y) = f'(x)cos(y) - f(x)sen(y) (i)
f'(x-y) = f'(x)cos(y) + f(x)sen(y)
Fazendo x = 0 em (i): f'(y) = f'(0)cos(y) -
f(0)sen(y)
Integrando: f(y) = f'(0)sen(y) + f(0)cos(y) +
K
Fazendo y = 0: f(0) = f'(0)sen(0) + f(0)cos(0) + K
==>
f(0) = f(0) + K ==>
K = 0 ==>
f(y) = f'(0)sen(y) + f(0)cos(y).
Ou seja,
f(x) = Asen(x) + Bcos(x), onde A = f'(0) e B =
f(0).
Usando identidades trigonométricas elementares eu
verifiquei que quaisquer que sejam A e B, esta f satisfaz a relação do
problema.
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