[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Fw: [obm-l] Determine o nº de algarismos do período.

["Wagner" <timpa@xxxxxxxxxx>]

Oi para todos!

Só para esclarecer eu apenas conjecturei qual seria o período de 1/3^b

André T.

----- Original Message -----
From: "Claudio Buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Wednesday, March 26, 2003 9:56 AM
Subject: Re: [obm-l] Re:[obm-l] Fw: [obm-l] Determine o nº de algarismos do
período.


> Oi, Amurpe, Andre T. e Andre Riker:
>
> Acho que tem um teorema mais geral, que diz que se m eh um inteiro
positivo
> maior do que 1 com MDC(m,10) = 1, entao o no. de algarismos do periodo de
> 1/m eh igual a ordem de 10 mod m, ou seja, o menor expoente k (inteiro
> positivo) tal que m divide 10^k - 1.
>
> Suponha que 1/m tenha periodo p. Entao:
> 1/m = 0,A1A2...Ap A1A2...Ap A1A2... ==>
> 10^p/m = A1A2...Ap,A1A2...Ap A1A2... ==>
> 10^p/m - 1/m = A1A2...Ap ==>
> 10^p - 1 = m * A1A2...Ap ==>
> m divide 10^p - 1
>
> Suponha que p = qk + r com q, r inteiros, q > 0 e 0 <= r <= k-1 ==>
> m divide 10^(qk+r) - 1
>
> Mas 10^(qk+r) - 1 = 10^(qk)*10^r - 1 = 10^(qk)*10^r - 10^r + 10^r - 1 =
> 10^r(10^(qk) - 1) + 10^r - 1
>
> Naturalmente 10^k - 1 divide 10^(qk) - 1 = (10^k)^q - 1 ==>
> m divide 10^r - 1 e 0 <= r <= k-1 ==>
> r = 0, pois k eh o menor inteiro positivo tal que m divide 10^k - 1 ==>
> p = qk ==>
> p eh multiplo de k = ordem de 10 mod m
>
> Agora, se p > k (logo p >= 2k), teremos que:
> (10^k - 1)/m = A1...Ak,A(k+1)...Ap A1...Ap A1...Ap A1... eh inteiro ==>
> 0,A(k+1)...Ap A1...Ap A1... eh igual a 0 ou 1 ==>
> A1...Ap = 0  ou  A1...Ap = 99...9 (p noves) ==>
> 1/m = 0  ou  1/m = 1 ==>
> contradicao ==>
> p = k
>
> Alem disso, como mdc(10,m) = 1, o teorema de Euler nos da:
> 10^Phi(m) = 1 (mod m) ==>
> Phi(m) eh multiplo de k ==>
> o no. de algarismos do periodo de 1/m divide Phi(m) ==>
> o no. de algs. do periodo de 1/m sera igual a Phi(m) se e somente se 10
for
> uma raiz primitiva mod m.
>
> No caso do problema original, o maximo que da pra afirmar (com base no
> teorema acima) eh que o no. de algarismos do periodo de 1/3^2002 deve ser
um
> divisor de Phi(3^2002) = 3^2002 - 3^2001 = 2*3^2001.
>
>
> O Andre T. calculou o no. de algs. dos periodos de 1/3^a para a de 1 a 5,
e
> achou todos da forma 3^b. Pergunta: existe algum expoente n tal que o
> periodo de 1/3^n tem um numero par de algarismos?
>
>
> Um abraco,
> Claudio.
>
> on 26.03.03 07:41, amurpe at amurpe@bol.com.br wrote:
>
> >>
> >> Oi , Wagner , se não for incomodo gostaria de conhecer
> > esse teorema.
> >
> > um abraço , e obrigado.
> >
> > Amurpe
> >
> >
> > Oi para todos!
> >>
> >> Só para corrigir a mensagem anterior, se as duas afirma
> > ções estiverem
> >> corretas a resposta pode ser tanto 3^2000 como 3^2001.
> >> Isso segue do teorema de que o nº de algarismos do perí
> > odo de 1/x
> >> é menor do que x, para todo x natural maior que 1 (o pe
> > ríodo de 1 têm 1
> >> algarismo: 1,0000... ).
> >> Esse teorema é interessante por que prova que um número
> > decimal com
> >> período infinito (ou sem período definido) é obrigatóri
> > amente irracional.
> >> A prova dele é fácil e se alguém quiser eu coloco na li
> > sta.
> >>
> >>
> >> Desculpem a distração
> >> André T.
> >>
> >>
> >> ----- Original Message -----
> >> From: Wagner
> >> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >> Sent: Sunday, March 23, 2003 12:40 PM
> >> Subject: Re: [obm-
> > l] Determine o nº de algarismos do período.
> >>
> >>
> >> Oi para todos!
> >>
> >> Vamos tentar encontrar um padrão para o nº de algaris
> > mos do período de
> >> 1/3^k para k natural maior do que 1:
> >>
> >> Para 1/3 , o nº de algarismos do período é 1 (0,333..
> > .)
> >> Para 1/3^2 , esse nº também é 1 (0,111...)
> >> Para 1/3^3 , esse nº é 3 (0,037037...)
> >> Para 1/3^4 , esse nº é 9 (0,012345679...)
> >> Para 1/3^5 , esse nº é 27 (0,004115226337448559670781
> > 893...)
> >>
> >> SUGESTÕES:
> >> -
> > Tente provar que o nº de algarismos dos períodos será sem
> > pre
> >> da forma 3^a, com a natural maior que 1.
> >> -
> > Tente provar que se k>2, o nº de algarismos do período de
> > 1/3^(k+1)
> >> é maior (ou então maior ou igual) que o nº de algaris
> > mos de 1/3^k.
> >>
> >> OBS:
> >> Eu não tentei provar nenhuma das 2 afirmações, logo e
> > las podem ser falsas.
> >> Mas, é fácil perceber que se ambas estiverem corretas
> > a resposta é 3^2001.
> >>
> >>
> >> André T.
> >>
> >>
> >> ----- Original Message -----
> >> From: André Riker
> >> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >> Sent: Friday, March 21, 2003 10:30 PM
> >> Subject: [obm-
> > l] Determine o nº de algarismos do período.
> >>
> >>
> >>
> >>
> >> Alguém poderia me ajudar a resulver esse problema?
> >>
> >> Ao escrevermos a fração 1/3²ºº² como um número deci
> > mal, obtemos uma dízima periódica. Qual o número de algar
> > ismos da período?
> >>
> >> Obrigado, André!!!!!!!!
> >>
> >>
>
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> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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