Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração de função bijetora (corrigindo)

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Caro Goiamum:

Segue abaixo uma demonstracao de que f eh uma bijecao usando apenas algebra
elementar:

f(x) = (2x - s)/[x(s - x)] ==>
f(x) = 1/(s-x) - 1/x

A injetividade de f eh consequencia de (i) abaixo e a sobrejetividade eh
consequencia de (ii) e (iii):
 
i) Se 0 < a < b < s entao f(a) < f(b).
Dem:
0 < a < b < s ==>
0 < s - b < s - a < s    e    0 < 1/s < 1/b < 1/a  ==>
1/(s-a) < 1/(s-b)    e   -1/a < -1/b  ==>
1/(s-a) - 1/a < 1/(s-b) - 1/b ==>
f(a) < f(b)
-----
 
ii) Se x = s/2 entao f(x) = 0.
Dem:
óbvia
-----
 
iii) Dado y real não-nulo, definimos x como sendo:
x = s/2 - 1/y + raiz(s^2/4 + 1/y^2)  se  y > 0
e
x = s/2 - 1/y - raiz(s^2/4 + 1/y^2)  se y < 0.
Então: 0 < x < s  e  f(x) = y.
Dem:
s > 0 e y <> 0 ==> 
s/2 + 1/|y| > raiz(s^2/4 + 1/y^2) > max( s/2 , 1/|y| )

Assim:
y > 0 ==> |y| = y ==>
x = raiz(s^2/4 + 1/y^2) + s/2 - 1/|y| > 0
s - x = s/2 + 1/|y| - raiz(s^2/4 + 1/y^2) > 0 ==> x < s

y < 0 ==> |y| = -y ==>
x = s/2 + 1/|y| - raiz(s^2/4 + 1/y^2) > 0
s - x = s/2 - 1/|y| + raiz(s^2/4 + 1/y^2) > 0 ==> x < s

Alem disso, temos: 
x - (s/2 - 1/y) = +/- raiz(s^2/4 + 1/y^2) ==>
(x - (s/2 - 1/y))^2 = s^2/4 + 1/y^2 ==>
x^2 - 2x(s/2 - 1/y) + s^2/4 - s/y + 1/y^2 = s^2/4 + 1/y^2 ==>
x^2 - xs + 2x/y - s/y = 0 ==>
(2x - s)/y = xs - x^2 ==>
y = (2x - s)/(xs - x^2) ==>
y = (2x - s)/[x(s - x)] ==>
y = f(x)
-----

Um abraco,
Claudio.


> ----- Original Message -----
> From: "goiamum" <goiamum@bol.com.br>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Wednesday, March 26, 2003 2:14 PM
> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração de função bijetora (corrigindo)
> 
> 
>> Primeiramente, obrigado Carlos por responder a questão.
>> O problema é que ainda curso o ensino médio, e não
>> conheço os conceitos de derivada. Na verdade, eu tenho a
>> resolução dessa questão, mas não entendi alguns pontos
>> sobre a verificação da sobrejeção. Estou mandando
>> novamente a pergunta, sua respectiva resposta (relativa
>> a sobrejeção) e minha dúvida. Fico grato se alguem me
>> exclarecer.
>> 
>> Demonstre que f, definida no intervalo 0 < x < s (s > 0)
>> do seguinte modo: F(x) = (2x - s)/[x(s - x)] é uma
>> função bijetora desse intervalo nos reais.
>> 
>> "Notemos que f(x) = [x + (x - s)]/[x(x - s)] = 1/(x - s)
>> + 1/x.
>> 
>> 1. Para todo y E R, se y = (2x - s)/[x(s - x)], resulta:
>> y(xs - x^2) = 2x - s  ->  yx^2 + (2 - ys)x - s = 0.
>> 
>> Fazendo g(x) = yx^2 + (2 - ys)x - s, vem:
>> 
>> a · g(0) = y(-s)
>> a · g(s) = y(s)
>> -> ag(0) e ag(s) têm sinais opostos  ->  existe um x´
>> tal que y = (2x´ - s)/[x´(s - x´)]
>> então f é sobrejetora."
>> 
>> (DÚVIDA) Por que g(0) e g(s) são multiplicados por a.
>> Não entendi a conclusão, ou seja, por que ela é
>> sobrejetora?
>> 
>> obrigado pela atenção.
>> Ass: Marcelo Paiva
>> 
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