Re: [obm-l] congruencias

["amurpe" <amurpe@xxxxxxxxxx>]

> Prezado , Claudio tenho observado em várias soluções , 
inclusive envolvendo polinômios que você usa a noção de 
congruência , e as vezes o problema não mostra isso 
explicitamente . 

As soluções que são dadas por você ou por outros colegas 
da lista , são muito legais , embora confesse que fico 
boiando .

Fiquei , de imediato , um pouco receoso de fazer esse 
tipo de pergunta , mas como você é uma pessoa paciente .

Tomo coragem e pergunto a  você , como se  faz pra " 
ver" esse tipo de saída num problema ?.

Tenho cosciencia de que tem muito estudo por trás 
disso , mas se vier uma orientação eu corro atrás para 
aprender.

um abraço.

Amurpe















> ----- Original Message -----
> From: "m.ofl" <m.ofl@bol.com.br>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Sunday, March 23, 2003 11:59 AM
> Subject: [obm-l] congruencias
> 
> 
> > quais podem ser os valores de n para (5 elevado a n) 
+
> > (n elevado a 5) para que esta soma seja divisivel por
 13
> >
> 
> 5^n + n^5 = 0 (mod 13) ==>
> n^5 = - 5^n (mod 13)
> 
> Mod 13, teremos:
> 5^1 = 5
> 5^2 = -1
> 5^3 = -5
> 5^4 = 1 ==>
> 
> 5^(4k) = 1
> 5^(4k+1) = 5
> 5^(4k+2) = -1
> 5^(4k+3) = -5
> 
> Por outro lado (ainda mod 13)
> n = 0 ==> n^5 = 0
> n = 1 ==> n^5 = 1
> n = 2 ==> n^5 = 6
> n = 3 ==> n^5 = -4
> n = 4 ==> n^5 = -3
> n = 5 ==> n^5 = 5
> n = 6 ==> n^5 = 2
> n = -6 ==> n^5 = -2
> n = -5 ==> n^5 = -5
> n = -4 ==> n^5 = 3
> n = -3 ==> n^5 = 4
> n = -2 ==> n^5 = -6
> n = -1 ==> n^5 = -1
> 
> Como -5^n só pode ser igual a 1, 5 , -1 e -
5 (mod 13), temos que os únicos
> valores admissíveis de n serão:
> 1, 5, -1 e -5 (mod 13)
> 
> n = 1 (mod 13);
> n^5 = 1 ==> 5^n = -1 ==> n = 4k+2 ==> n = 2 (mod 4)
> 
> n = -1 (mod 13):
> n^5 = -1 ==> 5^n = 1 ==> n = 4k ==> n = 0 (mod 4)
> 
> n = 5 (mod 13):
> n^5 = 5 ==> 5^n = -5 ==> n =  4k+3 ==> n = 3 (mod 4)
> 
> n = -5 (mod 13):
> n^5 = -5 ==> 5^n = 5 ==> n = 4k+1 ==> n = 1 (mod 4)
> 
> Agora, resta-
nos resolver estes 4 sistemas de congruências, o que pode
 ser
> feito usando-
se o Teorema Chinês dos Restos, uma vez que mdc
(4,13) = 1:
> n = a (mod 13)
> n = b (mod 4) ==>
> 
> n = -12a + 13b (mod 52)
> 
> a = 1, b = 2 ==> n = 14 (mod 52)
> a = -1, b = 0 ==> n = 12 (mod 52)
> a = 5, b = 3 ==> n = -21 = 31 (mod 52)
> a = -5, b = 1 ==> n = 73 = 21 (mod 52)
> 
> Assim, a congruência n^5 + 5^n = 0 (mod 13) terá soluçã
o para:
> n = 12, 14, 21 e 31 (mod 52)
> 
> Um abraço,
> Claudio.
> 
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a
 lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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