Re: [obm-l] congruencias

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

----- Original Message -----
From: "m.ofl" <m.ofl@bol.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Sunday, March 23, 2003 11:59 AM
Subject: [obm-l] congruencias


> quais podem ser os valores de n para (5 elevado a n) +
> (n elevado a 5) para que esta soma seja divisivel por 13
>

5^n + n^5 = 0 (mod 13) ==>
n^5 = - 5^n (mod 13)

Mod 13, teremos:
5^1 = 5
5^2 = -1
5^3 = -5
5^4 = 1 ==>

5^(4k) = 1
5^(4k+1) = 5
5^(4k+2) = -1
5^(4k+3) = -5

Por outro lado (ainda mod 13)
n = 0 ==> n^5 = 0
n = 1 ==> n^5 = 1
n = 2 ==> n^5 = 6
n = 3 ==> n^5 = -4
n = 4 ==> n^5 = -3
n = 5 ==> n^5 = 5
n = 6 ==> n^5 = 2
n = -6 ==> n^5 = -2
n = -5 ==> n^5 = -5
n = -4 ==> n^5 = 3
n = -3 ==> n^5 = 4
n = -2 ==> n^5 = -6
n = -1 ==> n^5 = -1

Como -5^n só pode ser igual a 1, 5 , -1 e -5 (mod 13), temos que os únicos
valores admissíveis de n serão:
1, 5, -1 e -5 (mod 13)

n = 1 (mod 13);
n^5 = 1 ==> 5^n = -1 ==> n = 4k+2 ==> n = 2 (mod 4)

n = -1 (mod 13):
n^5 = -1 ==> 5^n = 1 ==> n = 4k ==> n = 0 (mod 4)

n = 5 (mod 13):
n^5 = 5 ==> 5^n = -5 ==> n =  4k+3 ==> n = 3 (mod 4)

n = -5 (mod 13):
n^5 = -5 ==> 5^n = 5 ==> n = 4k+1 ==> n = 1 (mod 4)

Agora, resta-nos resolver estes 4 sistemas de congruências, o que pode ser
feito usando-se o Teorema Chinês dos Restos, uma vez que mdc(4,13) = 1:
n = a (mod 13)
n = b (mod 4) ==>

n = -12a + 13b (mod 52)

a = 1, b = 2 ==> n = 14 (mod 52)
a = -1, b = 0 ==> n = 12 (mod 52)
a = 5, b = 3 ==> n = -21 = 31 (mod 52)
a = -5, b = 1 ==> n = 73 = 21 (mod 52)

Assim, a congruência n^5 + 5^n = 0 (mod 13) terá solução para:
n = 12, 14, 21 e 31 (mod 52)

Um abraço,
Claudio.

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