Re: [obm-l] Problemas em aberto IV

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <peterdirichlet2002@xxxxxxxxxxxx>]

Esse problema e legal pacas!!!!!!Mandei uma soluçao pra Eureka totalmente porrada.Elevei ao quadrado e fui simplificando ate virar(depois de uma folha) uma sominha meiga de cossenos.

 "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@sucuri.mat.puc-rio.br> wrote:

On Sun, Mar 02, 2003 at 11:12:21AM -0300, A. C. Morgado wrote:
> O Luís Lopes mandou ha algum tempo:
> Prove que
> tan(3*Pi/11) + 4*sin(2*Pi/11) = sqrt(11).
>
> Embora eu tenha uma ideia muito clara do que fazer (usar trigonometria
> do tempo dos gregos, isto eh, construir um conveniente quadrilatero
> inscrito e aplicar o teorema de Ptolomeu), quando tentei nao consegui.

Eu fiz algo bem diferente; usei álgebra e maple:


> pp := ((z^3 - z^(-3)) + 2*(z^2 - z^(-2\
> ))*(z^3 + z^(-3)))^2 + 11*(z^3 + z^(-3))^2;
/ 3 1 / 2 1 \ / 3 1 \\2 / 3 1 \2
pp := |z - ---- + 2 |z - ----| |z + ----|| + 11 |z + ----|
| 3 | 2 | | 3 || | 3 |
\ z \ z / \ z // \ z /

> p1 := expand(pp);
2 4 4 4 8 6 4 10 4 4
p1 := 4 + 4 z + ---- + 4 z + ---- + 4 z + 4 z + ---- + 4 z + ---- + ---
2 4 6 8 10
z z z z z

> p2 := expand(z^10 * p1);
10 12 8 14 6 18 16 4 20
p2 := 4 z + 4 z + 4 z + 4 z + 4 z + 4 z + 4 z + 4 z + 4 z

2
+ 4 z + 4

> factor(p2);
5 6 4 7 3 9 8 2 10
4 (z + z + z + z + z + z + z + z + z + z + 1)

10 9 8 7 6 5 4 3 2
(z - z + z - z + z - z + z - z + z - z + 1)

A idéia é que z = exp(Pi*i/11).
Temos tan(3*Pi/11) = -i (z^3 - z^(-3))/(z^3 + z^(-3)),
sin(2*Pi/11) = -i/2 * (z^2 - z^(-2)) donde após pequenas
simplificações queremos verificar que pp acima vale 0.
Expandimos, fatoramos e descobrimos que pp é múltiplo de
z^10 - z^9 + z^8 - ... - z + 1. Ora, este polinômio de fator
tem exp(Pi*i/11) por raiz.

Observe que as contas não são tão pesadas assim,
daria para fazer na mão.

Claro que o Luís Lopes e o Morgado podem achar que uma solução
geométrica seria mais elegante...

[]s, N.
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