[obm-l] Re: [obm-l] Problemas em Aberto II

[peterdirichlet1985@xxxxxxxxxxxxxx]

Esse da via ferrea e classico!!!!!!Voce pode usar recursao para provar que
isto e o n-esimo numero de Catalan.
Para tal escolha um trem x e conte de quantos modos voce arruma os trens
antes e depois sem violar as regras.Definida a recursao resolva-a.Esse esta
num livro do Knuth.
Tomei a liberdade de corrigi-lo.

-- Mensagem original --

>HelpContinuando a compilação de problemas não resolvidos da lista:
>
>11. Dado um corredor com 1 metro de largura, que faz uma "curva" de 90
graus
>e
>continua com a mesma largura, qual a figura plana de maior área possível
>que pode fazer
>essa curva? Observe que o formato dessa area pode ser qualquer e, obviamente,
>ela é suposta rigida.
>(Acho que este problema ainda está em aberto - e não só aqui na lista.
De
>qualquer forma....)
>
>**********
>
>12. Dada a sequencia a[n+1]= 2a[1]*a[n] - a[n-1] definida para todo n>=1
>tal que a[0]=100 e a[100]= 0. 
>a) Mostre que | a[1] |<=1.
>
>b) Determine a[2003].
>
>**********
>
>13.  X, Y e Z são reais positivos e satisfazem o sistema abaixo,
>
>X^2 + XY + (Y^2)/3 = 25
>(Y^2)/3 + Z^2 = 9
>Z^2 + ZX + X^2 = 16
>
>Encontre o valor de ( XY + 2YZ + 3ZX ).
>
>SUGESTÃO : Você nao precisa, necessariamente, resolver o sistema ...
>
>**********
>
>14. De quantas formas podemos colocar N rainhas em um
>tabuleiro NxN tal que nenhuma rainha possa enxergar
>outra?
>
>obs: uma rainha enxerga outra se ambas estiverem na
>mesma coluna, linha ou diagonal.
>(Este problema também está em aberto. Talvez valha a pena tentar com Torres
>e Bispos ao invés de Rainhas)
>
>***********
>
>15. 
>> 
>> _ _ _ _ _ _ _ 1 2 ... n _
>> _|_| |_|_| |_|_|_|_|_|_|_
>> B   \_\ /_/      A
>>       \_|_/
>>        |_|
>>        |_|
>>        |_| C
>>        |o|
>> 
>> Imagine que o 'desenho' acima é uma linha férrea,
>> aonde o segmento B é extensão do segmento A e o
>> segmento C se conecta com ambos segmentos.
>> Os numeros no segmento A representam n vagões
>> _soltos_ e enumerados.
>> Os vagoes podem se mover de A -> B, A -> C e C -> B,
>> mas nunca de C -> A nem B -> A nem B -> C..
>> 
>> De quantas formas eh possivel reagrupar os vagões no
>> segmento B?
>> 
>> (há espaço suficiente para n vagões tanto em A,
>> quanto em B e em C)
>
>************
>
>16. Seja f uma função contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b).
>
>A) É possível que, apesar de existir, f' seja descontínua em todo ponto
de
>(a,b).
>
>B) Em caso afirmativo, será que a condição f(a) < f(b) é suficiente para
>garantir que exista um sub-intervalo [c,d] (a <= c < d <= b) onde f é crescente?
>
>
>**********
>
>17. a, b, c, d são números reais não-negativos tais que:
>
> ab+ac+ad+bc+bd+cd+abc+abd+acd+bcd=2.
>
>Mostre que:
>
>3(a+b+c+d)>=4(ab+ac+ad+bc+bd+cd).
>
>*********
>
>18. Numa loteria sao sorteados 7 numeros escolhidos aleatoriamente de {1,2,3,...,48,49}.
>Cada cartao de apostas deve ser preenchido com exatamente 7 numeros. Uma
>pessoa pode pode apostar quantos cartoes desejar sem pagar nada, desde
que
>quaisquer dois cartoes de sua aposta tenham, NO MAXIMO, uma dezena em comum.
>O primeiro premio e dado a pessoa que acertar o maior numero de triplos.
>A) Exiba uma aposta gratuita que tenha a maxima probabibilidade de ganhar
>o primeiro premio.
>B) Qual o valor da probabilidade acima ?
>
>***********
>
>19. Suponha que os números da forma 2^x * 3^y (x, y: inteiros não negativos)
>são colocados em ordem crescente. Prove que existem termos consecutivos
-
>digamos 2^a * 3^b  e  2^c * 3^d - tais que 
|2^a * 3^b  -  2^c * 3^d| torna-se arbitrariamente grande.Generalize
>
>*************
>
>20. Duas de Análise Real:
>
>A) Prove que se f:{a, b) -> R  é contínua em c em (a,b) e lim x-> c
>f'(x) = L, então f'(c) = L. A partir daí, conclua que derivadas jamais
>apresentam descontinuidades do tipo salto. Conclua também que se f' é
>monotônica em um intervalo I, então f'é contínua em I.
>
>B) Suponhamos que f seja diferenciável em R e seja k<>0. Mostre que:
>B.1) se k>0, então lim x -> infinito f'(x) + k f(x) = L, L em R,  implica
>que lim x-> infinito f('x) = 0 e lim x-> infinito f(x) = L/k
>B.2) se k<0, então lim x-> infinito f'(x) + k f(x) = L, L em R, só é
>possível se lim x-> e^(kx) f(x) = 0, caso em que temos também lim x->
>infinito f('x) = 0 e lim x-> infinito  f(x) = L/k
>sugestão : defina h(x) = e^(kx) f(x) g(x) = e^(kx) . Logo, f(x) =
>h(x)/g(x). Use L'Hopital.
>
>
>**************
>

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