[obm-l] Re: [obm-l] questão interessante

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

> Existem x e y inteiros positivos não nulos tais que
> z=( 9*x^2 + 50*x*y + 9*y^2)^1/2 seja também um número
> inteiro.
>

Sim, e dado que a expressão para z é simétrica em relação a x e y e
homogênea (de grau 2) podemos nos ater a pares (x,y) tais que x < y e
MDC(x,y) = 1, já que se (x,y) é solução (isto é, produz um z inteiro), então
(y,x) e (k*x,k*y) (k inteiro) também são.

Por exemplo, (1,5), (4,5), (9,13) produzem z = 22, 37 e 90, respectivamente.

A fim de determinar todas as soluções, uma idéia é elevar tudo ao quadrado e
completar o quadrado do lado direito.

z^2 = 9x^2 + 50xy + 9y^2  ==>
z^2 = (3x)^2 + 2*(3x)*(25y/3) + 625y^2/9 - 544y^2/9  ==>
z^2 = ( 3x + 25y/3 )^2 - 34*(4y/3)^2  ==>
(3z)^2 = ( 9x + 25y )^2 - 34*(4y)^2

Fazendo as substituições u = 9x + 25y  e  v = 4y, teremos:
u^2 - 34*v^2 = (3z)^2    (&)

Assim, para cada z inteiro e positivo, a equação (&) acima será uma equação
de Pell (apesar de alguns autores chamarem de eq. de Pell apenas aquelas
onde o lado direito = 1 (z =1/3 no nosso caso)), a qual pode ou não ter
solução.

Um abraço,
Claudio.

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